Un Sistema de Partículas es un conjunto de puntos materiales limitados por una superficie cerrada

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Momento Angular del Sistema de Partículas:

Se define como momento angular de una partícula “i” perteneciente a un sistema de partículas respecto a un punto “O” a la igualdad:

[pic 20]

, y el del sistema como:

[pic 21]

Si derivamos respecto al tiempo:

[pic 22]

, donde el primer sumatorio es nulo por ser una colección de productos vectoriales de vectores idénticos, y el segundo se descompone en:

[pic 23]

En esta nueva igualdad al primer término se le considera el momento de fuerzas de O “MO“. Así que, en resumen:

[pic 24]

, siendo este el Teorema del Momento Angular. Así pues, encontramos que el momento angular del sistema de un punto tan solo es constante si Q está quieto, si lleva un movimiento rectilíneo uniforme, si es el propio centro de masas, o cuando la aceleración del punto está dirigida al centro de masas.

Supongamos ahora el momento angular respecto al centro de masas que, como hemos visto, será constante.

[pic 25]

, pero como a velocidad del centro de masas relativa a sí mismo es nula:

[pic 26]

, y el momento angular del sistema respecto al centro de masas resulta ser independiente de la velocidad de este. Principio de Conservación del Momento Angular: si el momento de fuerzas se anula con respecto al centro de masas, “LG” es constante.

Por último, si comparamos el momento angular respecto al origen de coordenadas con el momento angular respecto al centro de masas resulta que:

[pic 27]

Energía Cinética de un Sistema de Partículas:

Se define la energía cinética de un sistema de “N” partículas a partir de la de la partícula simple:

[pic 28]

, por lo que la energía cinética depende del sistema de referencia, cumpliéndose que:

[pic 29]

, siendo éste el Teorema de Koening.

Teorema del Trabajo:

[pic 30]Como ya sabemos, el incremento de trabajo está directamente relacionado con el incremento de energía cinética:

[pic 31]

Lo cual, aplicado al sistema de partículas, implica que:

[pic 32]

Energía Potencial. Teorema de Conservación de la Energía:

Se puede definir una energía potencial cuando la resultante de las fuerzas sobre las partículas de unos sistemas tiene un rotacional no nulo, o dicho en otras palabras, es conservativo.

Se cumple que la energía potencial total del sistema es igual al sumatorio de la energía potencial de cada una de las partículas, debido a la separación relativa de las partículas del sistema:

[pic 33]

, estando “Epi” en función de la distancia relativa entre ellas y la cantidad de magnitud activa que poseen.

Si las fuerzas interiores son conservativas, el trabajo interior es igual a la energía potencial interna inicial menos la final:

[pic 34]

Asimismo, se define como Energía Propia del Sistema a:

[pic 35]

Si volvemos a la fórmula del apartado anterior:

[pic 36]

, sustituyendo y despejando:

[pic 37]

, por lo que si el sistema está aislado, la energía propia se conserva.

Si la energía cinética no es constante, su variación será opuesta a la de la energía potencial para que se cumpla el teorema de conservación de la energía propia.

[pic 38]Hay que hacer notar que aunque para este teorema se han supuesto fuerzas interiores conservativas, tiene un rango de validez superior al de las hipótesis que sirvieron para demostrarlo.

5.1 DINAMICA DE UN SISTEMA DE PARTICULAS

El centro de masas de un sistema de partículas es un punto que, a muchos efectos, se mueve como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema sometida a la resultante de las fuerzas que actúan sobre el mismo.

Se utiliza para describir el movimiento de traslación de un sistema de partículas.

Vector de posición del centro de masas

El vector de posición del centro de masas se define como:

[pic 39]

[pic 40]

[pic 41]

Donde M es la masa total del sistema de partículas. La posición del centro de masas no tiene por qué coincidir con la posición de ninguna de las partículas del sistema, es simplemente un punto en el espacio.

Velocidad del centro de masas

La velocidad del centro de masas es la derivada de su vector de posición:

[pic 42]

El segundo miembro de la ecuación anterior es el momento lineal total del sistema de partículas dividido por la masa total del sistema, por lo que este último puede obtenerse a partir de la velocidad del centro de masas:

[pic 43]

[pic 44]

Este último resultado significa que el momento lineal total de un sistema de partículas es igual al momento lineal que tendría la masa total del sistema situada en el CM, por lo que el movimiento de traslación