Algebras de Boole Conjunto de divisores D(n)

Algebras de Boole

Conjunto de divisores D(n)

Elementos

• Sea n un perteneciente a ℕ.
• Un conjunto ordenado por divisibilidad siendo 1 el elemento más pequeño y n el mayor de todos.
• Llamamos átomos a los factores primos de n representados en la base del diagrama de Hasse.
• Llamamos coátomos a los elementos que su descomposición contiene todos los factores primos menos uno representados arriba en el diagrama de Hasse.

Definición

• Cada elemento perteneciente a ℕ tiene un conjunto de divisores y por lo cual un diagrama de Hasse.

[pic 1]

Teorema

• Para que D(n) sea un Algebra de Boole debe cumplir las siguientes condiciones:

1. El número de elementos del conjunto tiene que ser potencia de 2.
2. La descomposición de n debe estar formada por primos únicos.

• Si D(n) es un Algebra de Boole, cualquier elemento se puede expresar como supremo de átomos e ínfimo de coátomos. Por consecuencia:

  [pic 2][pic 3]

Operaciones

• Desplazamiento hacia arriba en el diagrama de Hasse.

[pic 4]

• Desplazamiento hacia abajo en el diagrama de Hasse.

[pic 5]

• Complemento de un elemento.

Sea a un elemento de D(n).

Sea C el conjunto de factores primos de n.

Sea A el conjunto de factores primos de a.

[pic 6]

Proceso

1. Realizar la descomposición de n en factores primos.
2. Calcular el conjunto de divisores de n.
3. Dibujar si es posible el diagrama de Hasse usando operaciones anteriormente descritas.

Conjunto de generado de [pic 7]

Elementos

• El conjunto  contiene  elementos.[pic 8][pic 9]
• Los elementos se expresan como combinatoria de 0 y 1.
• El Algebra de Boole más básico es  compuesto por .[pic 10][pic 11]

Definición

• Un Algebra de Boole es un conjunto ordenado por el número de apariciones de unos en un elemento, siendo el el elemento menor y el (11…1) el elemento mayor.[pic 12]

Teorema

• Un  siempre será un Algebra de Boole ya que deriva del Algebra de Boole más básico.[pic 13]

Operaciones

• Desplazamiento hacia arriba en el diagrama de Hasse.

[pic 14]

• Desplazamiento hacia abajo en el diagrama de Hasse.

[pic 15]

• Complemento de un elemento.

Sea a un elemento de D(n).

Sea C el conjunto de factores primos de n.

Sea A el conjunto de factores primos de a.

[pic 16]

Proceso

1. Calcular el número de elementos de .[pic 17]
2. Dibujar el diagrama de Hasse añadiendo un 1 más en casa piso del diagrama y combinando todas sus posibles posiciones.

Algoritmo Quine Mccluskey

Objetivo

• Simplificar una función booleana como

Sumatoria de minterms.