Análisis de funciones Matemáticas 1

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Físicamente, las funciones exponenciales representan procesos que crecen o disminuyen muy rápidamente.

Ejemplos de funciones exponenciales.

f(x) = 2x, g(x) = 5x

Como y = f(x), las funciones de la forma y = ax también son funciones exponenciales. Las funciones exponenciales pueden graficarse seleccionando valores para x, determinando los correspondientes valores de y [o f(x)], y trazando los puntos.

Grafica de funciones exponenciales

Para toda función exponencial de la forma y = ax o f(x) = ax, donde a > 0 y a ≠ 1

- El dominio de la función es (-∞, ∞).

- El rango de la función es (0, ∞).

- La grafica pasa por los puntos (-1, 1/a), (0, 1) y (1, a).

Las funciones exponenciales se suelen utilizar para describir el incremento y el decremento de ciertas sustancias.

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

Las funciones logarítmicas de base a > 0, que representaremos por las expresiones de la forma f (x) = loga x, son los procesos inversos de las funciones exponenciales de base a > 0.

Así, se tendrá que loga x = y si y es el tiempo que hay que esperar para que un proceso exponencial de base a > 0 llegue a crecer o decrecer hasta una población de tamaño x, ay = x.

CLASIFICACIÓN SEGÚN LA VARIABLE X

En primer lugar clasificaremos las funciones dependiendo del carácter de la variable independiente X en dos tipos: Algebraicas y trascendentes.

- Funciones algebraicas: Este tipo de funciones corresponden a ecuaciones polinómicas donde pueden efectuar operaciones en las que interviene la variable independiente, como la suma, la resta, multiplicación, etc. Dentro de las funciones algebraicas nos encontramos:

- Funciones constantes: Donde la función viene definida por una constante y no interviene la variable independiente: y= f(x) = k

- Funciones lineal: La representación de este tipo de funciones es una recta que pasa por el origen de coordenadas: y = mx + n

- Función afín: Esta función se trata de un caso general de la anterior, ya que se trata de una recta cualquiera del plano: y = mx

- Función cuadrática: Viene expresada por una función polinómica de segundo grado, su representación es una parábola.

- Funciones racionales: Se expresan mediante el cociente de polinomios

- Funciones radicales: Vienen dadas por la raíz de una expresión polinómica.

- Funciones a trozos: Son funciones definidas por una función distinta en cada intervalo que considere.

- Funciones trascendentes: Cuando la variable independiente, x, forma parte del exponente o da la base de un logaritmo; o simplemente se ve afectada por una función, entonces hablamos de funciones trascendentes.

- Función Exponencial: Como su nombre lo indica, es una función en la que la variable independiente se encuentra en el exponente y cuya base es un número real. Por lo tanto, recibe el nombre de función exponencial de base a y exponente x.

- Función logarítmica: La inversa de la función exponencial recibe el nombre de función logarítmica, por tanto, devuelve el número al que tendríamos que elevar la base a, para obtener nuestra variable independiente.

- Funciones trigonométricas: Las funciones trigonométricas se obtienen cuando ampliamos el concepto de razones trigonométricas a los números reales. Por lo que hay el mismo número de funciones trigonométricas que de razones trigonométricas: y = sen x, y = cos x, y = sec x, etc.

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES

Funciones algebraica

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, la sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

- Funciones explícitas:

- Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución f(x)=5x-2

- Funciones implícitas:

- Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones. 5x-y-2=0

Funciones polinómicas

Son las funciones que vienen definidas por un polinomio

F(x) = a0 + a1x + a2x2 + a2x3 + … + anxn

Su dominio es R, es decir, cualquier número real tiene imagen.

Funciones constante

El criterio viene dado por un número real

F(x)=k

La grafica es una recta horizontal paralela al eje de abscisas.

Funciones polinómica de primer grado

F(x)=mx+n

Su grafica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.

Las principales son:

- Función afín

- Función lineal

- Función identidad

Funciones cuadrática

F(x) = ax2 + bx + c

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su grafica una parábola.

Funciones a trozos

Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.

- Funciones en valor absoluto

- Función parte entera de x

- Función mantisa

- Función signo