CURSO BÁSICO DE MUESTREO ESTADÍSTICO

...

La utilización de estas cantidades muestrales se tratarán posteriormente, pero podemos ver que podría ser una aproximación razonable para μ si μ fuera desconocida, de manera similar s2 una aproximación razonable para σ2 si fuese desconocida y s una aproximación para σ.[pic 9]

2.2 DISTRIBUCIONES DE MUESTREO

Ahora las cantidades muestrales tales como serán utilizadas extensivamente para realizar inferencias acerca de cantidades poblacionales desconocidas por ello debemos estudiar las propiedades de ciertas funciones de las observaciones muestrales. Este estudio empieza con un estudio con una ilustración numérica, la cual va a ser generalizada para incluir una amplia variedad de situaciones de muestreo.[pic 10]

Considere la población discutida en la sección 1.1, en la cual los enteros 0, 1, 2,…, 9 estuvieron representados en la misma proporción. Si seleccionamos 25 muestras de tamaño n = 10 de esta población, cada muestra seleccionada con reemplazo, las medias muestrales para estas 25 muestras se presentan en la tabla 1.1 de manera ascendente[pic 11]

Tabla 1.1: Medias muestrales de 25 muestras de tamaño 10

Tabla de frecuencia

clase

Frecuencia

2.3

3.6

4.1

4.3

4.8

2 a 3

2

2.6

3.7

4.1

4.4

4.8

3 a 4

6

3.3

3.8

4.2

4.7

5

4 a 5

14

3.5

4

4.3

4.7

5.3

5 a 6

2

3.6

4.1

4.3

4.8

6

6 a 7

1

El histograma de frecuencias se presenta en la figura 1.2

[pic 12]

Esta distribución es una aproximación a la distribución de muestreo teórica de , ya que nos muestra la manera en que tiende a distribuirse cuando se toman muestras repetidas. La distribución de muestreo puede ser considerada como una distribución de probabilidad para . Observe que esta distribución tiende a centrarse cerca de la media poblacional μ = 4.5, con mucha menor dispersión (o variabilidad) que las mediciones originales de la población y tiene una forma monticular.[pic 13][pic 14][pic 15]

Desde el punto de vista de un curso elemental de estadística (Mendenhall 1983), sabemos que la distribución de muestreo de debe tener una media μ, una desviación estándar , y una forma como la de una curva normal. Esta distribución de 25 medias muestrales tiene un promedio de 4.172 (el cual es cercano a 4.5) y una desviación estándar de 0.619(cercano a = 2.9/ 3.162 = 0.91) El histograma de frecuencia tiene también una forma aproximada a una campana, aunque no es muy simétrica. Estos hechos concernientes al comportamiento de las medias muestrales serán importantes en el desarrollo de los procedimientos de inferencia.[pic 16][pic 17][pic 18]

De propiedades conocidas de la curva normal se deduce que aproximadamente

- 68% de los valores de , en muestreo repetido, debe caer dentro de una desviación estándar de la media de la distribución de muestreo de las .[pic 19][pic 20]

- 95% de los valores de , en muestreo repetido, debe caer dentro de dos desviaciones estándar de la media.[pic 21]

Para verificar estas aseveraciones en la muestra observada de 25 , vemos que[pic 22]

4.172 ± 0.619 es decir (3.553 , 4.791), contiene 15 observaciones de las 25 totales (60%) y

4.172 ± 2(0.619) es decir (2.934 , 5.41), contiene 22 observaciones de las 25 totales (88%)

Porcentajes relativamente cercanos a los valores teóricos de 68% y 95% porque recuerde que solo estamos considerando únicamente una aproximación, basada en 25 muestras con respecto a la verdadera distribución de muestreo de .[pic 23]

Si la distribución de muestreo de alguna cantidad muestral no sigue una distribución normal, al menos, aproximadamente, entonces la interpretación de la frecuencia relativa puede ser aun obtenida considerando el teorema de Tchebysheff. Este teorema establece que para cualquier k ≥ 1 al menos (1 – 1/k2) de las mediciones en cualquier conjunto deben caer dentro de k desviaciones estándar de su media, por ejemplo

k

(1 – 1/k2)

Porcentaje

Interpretación

2

1 - 1/4 = 3/4

75%

El 75% de los datos están en un intervalo de 4 desviaciones estándar con centro en la media.

3

1 – 1/9 =8/9

88%

El 88% de los datos están en un intervalo de 6 desviaciones estándar con centro en la media.

4

1 – 1/16 = 15/16

94%