DEFORMACIONES Y ESFUERZOS POR TORSIÓN EN EJES CIRCULARES

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Esta ecuación expresa la distribución del esfuerzo cortante como una función de la posición radial P del elemento; en otras palabras, define la distribución del esfuerzo en términos de la geometría de la flecha. Usándola aplicaremos ahora la condición que requiere el par de torsión producido por la distribución del esfuerzo sobre toda la sección transversal sea equivalente al par de torsión interno t en la sección lo cual mantiene a la flecha en equilibrio. Figura 4- 5. Específicamente,

[pic 15]

Figura 4.5 El esfuerzo cortante varía linealmente a lo largo de toda línea radial de la sección transversal

Cada elemento del área dA, situado en[pic 16], está sometido a una fuerza [pic 17]. El par de torsión producida por ésta fuerza es [pic 18], por tanto, para la sección transversal entera:

[pic 19]

[pic 20]

Puesto que [pic 21] es constante

[pic 22]

En ésta ecuación la integral depende sólo de la geometría de la flecha. Como sabemos, se trata del momento polar de inercia del área de la sección transversal del eje, calculado con respecto al eje longitudinal de la flecha. Simbolizaremos éste valor como J y en consecuencia la ecuación de la fórmula anterior puede escribirse en una forma más compacta, es decir

[pic 23](4.6)

De donde:

[pic 24]: El esfuerzo cortante máximo en la flecha, el cual ocurre en la superficie exterior

[pic 25]: El par de torsión interno resultante que actúa en la sección transversal. Este valor se determina por el método de secciones y la ecuación de equilibrio de momentos con respecto al eje longitudinal de la flecha.

[pic 26]: el momento polar de inercia del área de la sección transversal

r : El radio exterior de la flecha

Usando la ecuaciones 4-3 y 5-6, el esfuerzo cortante en la distancia intermedia p puede ser determinado a partir de una ecuación similar.

[pic 27]

A estas dos ecuaciones anteriores suele llamarse fórmula de torsión. Recordaremos que se usa solamente cuando la flecha es circular y el material es homogéneo y se comporta de manera elástico-lineal, puesto que la obtención está basada en el hecho de que el esfuerzo cortante es proporcional a la deformación unitaria cortante.

Flecha sólida. Si la flecha tiene una sección transversal circular sólida, el momento polar de inercia [pic 28] puede determinarse usando un elemento de área en forma de anillo diferencial o corona circular que tenga un espesor.

[pic 29]

Advierta que J es una propiedad geométrica del área circular y es siempre positiva. Las unidades comunes usadas para ella son mm4 , Pulg4, etc.

[pic 30]Figura 4.6

Como se observa en su derivación, la fórmula de la torsión da valores específicos del esfuerzo cortante en cualquier punto situado en la sección transversal de la flecha. En particular, si el esfuerzo cortante se traza a lo largo de líneas radiales, quedará representado por una distribución lineal como se muestra en la figura 4-5.

En la sección 1.3 se demostró que cualquier elemento de volumen aislado del material que esté sometido a un esfuerzo cortante en una de sus caras debe también desarrollar, por razón tanto del equilibrio de fuerzas como de momento, un esfuerzo cortante e igual en dos de sus caras adyacentes. Así, el par de torsión interno T no sólo desarrolla una distribución lineal de esfuerzo cortante a lo largo de cada línea radial en el plano del área de la sección transversal, sino que también desarrolla una distribución del esfuerzo cortante asociada a lo largo de un plano axial, como se muestra en la figura 4-7. Es interesante observar que, a causa de ésta distribución axial de esfuerzo cortante, las flechas hechas de madera tienden a rajarse a lo largo del plano axial cuando se las somete a un par de torsión excesivo, figura 4-8. Esto sucede debido a que la madera es un material anisótropo; su resistencia al corte paralelo a sus fibras o granos es mucho menor que su resistencia perpendicular a las fibras, dirigidas en el plano de la sección transversal.

[pic 31]

Figura 4.7 El esfuerzo cortante varía linealmente a lo largo de la línea radial

Figura 4.8 Falla de un eje de madera por torsión.

EJE CIRCULAR HUECO Y EJE DE SECCIÓN VARIABLE.

Para un árbol circular hueco de diámetro interior d1 y exterior d2, el momento polar de inercia es:

[pic 32] [pic 33] con d1 2

Para ejes de sección variable que se encuentran sometidos a pares de torsión, aplicados en sitios diferentes a sus extremos, la distribución de esfuerzos cortantes en una sección cualquiera se obtiene de la ecuación (4.7), donde J es el momento polar de inercia de esa sección y T, es el momento de torsión interno que actúa en dicho sección.

[pic 34]

Figura 4.9

ANGULO DE TORSIÓN

La deformación angular φ, para un tramo de longitud L, en el que el momento torsor T es constante, puede obtenerse a partir de la ecuación (4.1): [pic 35]

⇒ [pic 36] Pero de (4.7) [pic 37]

⇒ [pic 38] ⇒ [pic 39]

Para el caso de barra compuesta, [pic 40]

DondeTi es constante a lo largo dela longitud Li

Y finalmente, si el torque y/o la sección es función de la variable x (eje longitudinal)

[pic 41]

APLICACIONES EN SISTEMAS DE TRANSMISIÓN DE POTENCIA

La transmisión de potencia desde un motor o generador a equipos, máquinas u otros artefactos, se hace a través de diversos elementos como: faja - polea, engranajes, cadena – catalina, etc.

El

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