DEMOSTRACIÓN POR INDUCCIÓN MATEMÁTICA

...

2 (k + 1) es divisible por 2 (Entero par)

Por lo tanto (k + 1) (k + 2) es divisible por 2.

TAREA 2.6

Instrucción.

Primera acción. Elige cualquiera de los siguientes dos ejercicios resueltos que aparecen a continuación.

Segunda acción. Analiza con atención los procesos de resolución que se emplearon en el ejercicio elegido

Tercera acción. Elabora un listado, en el cual describas los principios algebraicos empleados por el autor, en la resolución del ejercicio que elegiste.

NOTA. Puedes encerrar en un círculo la operación a que te refieres y con una flecha expresar por escrito el principio empleado.

Criterios de evaluación.

Para calificar la tarea, como SI CUMPLIO, ésta debe contener, además de lo expresado en la nota:

- UNIVERSIDAD DE GUADALARA

- Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingeniería

- Departamento de Matemáticas

- Materia: Métodos Numéricos

- Tarea 1.6

- Sección: D27

- Aula: A007

- Apellidos y nombre(s)

Ejemplo 2

Demuestre por inducción matemática que: 2 + 6 + 10 +…+ (4 n – 2) = 2 n 2

a) Sea n = 1, entonces:

4 n – 2 = 2

2 n 2 = 2 (Verdadero).

b) Sea n = k, entonces: 2 + 6 + 10 +…+ (4 k – 2) = 2 k 2 (Hipótesis de inducción).

c) Sea n = k + 1, entonces:

2 + 6 + 10 +…+ (4 k – 2) + [4 (k + 1) – 2] = 2 (k + 1) 2 (Tesis).

d) Demostración:

2 + 6 + 10 +…+ (4 k – 2) = 2 k 2 (Por hipótesis de inducción).

2 + 6 + 10 +…+ (4 k – 2) + [4 (k + 1) – 2] = 2 k 2 + [4 (k + 1) – 2]

2 + 6 + 10 +…+ (4 k – 2) + [4 (k + 1) – 2] = 2 k 2 + 4 k + 2

Por lo tanto 2 + 6 + 10 +…+ (4 k – 2) + [4 (k + 1) – 2] = 2 (k + 1) 2

Ejemplo 3

Demuestre por inducción matemática que:

Si n es un entero positivo, entonces a 2 n – b 2 n es divisible por a + b

a) Sea n = 1, entonces:

a2 n – b2 n = a2 – b2 = (a + b) (a – b) (Verdadero)

b) Sea n = k, entonces:

a2 k – b2 k es divisible por a + b (Hipótesis de inducción)

c) Sea n = k + 1, entonces:

a 2 ( k + 1 ) – b 2 ( k + 1 ) es divisible por a + b (Tesis)

d) Demostración:

a2 k – b2 k es divisible por a + b (Por hipótesis de inducción) .

a2 (a2 k – b2 k) es divisible por a + b.

b2 k (a2 – b 2) es divisible por a + b

a2 (a 2 k – b 2 k) + b 2 k (a 2 – b 2) es divisible por a + b

a2 k + 2 – a 2 b 2 k + b 2 k a 2 – b 2 k + 2 es divisible por a + b

Por lo tanto a 2 (k + 1) – b 2 (k + 1) es divisible por a + b

Tomado de: http://www.eneayudas.cl/induccionmatematica/induccionmatematica.htm

Autor: Nelson Lillo Terán

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