DISEÑOS DE BLOQUES OBJETIVO EDUCACIONAL

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- Verificación del Modelo

En cualquier experimento diseñado, es siempre importante examinar los residuos y verificar si se violan las suposiciones básicas (Normalidad, Independencia, Aditividad e Igualdad de varianzas) que pueden invalidar los resultados.

- Generación de los Residuos

Los valores de los residuos del diseño aleatorizado por bloques completos se obtienen, como es usual, por la diferencia entre los valores observados y los estimados

[pic 58]

y los valores estimados son

[pic 59]

o bien

[pic 60][pic 61]

- La Suposición de Normalidad

El análisis de varianza del modelo supone que las observaciones están distribuidas de manera normal e independiente, con la misma varianza para cada tratamiento o nivel del factor. Estas suposiciones deben verificarse mediante el análisis de los residuos.

La suposición de normalidad puede verificarse mediante la construcción de una gráfica de probabilidad normal de los residuos. Para esto, los residuos se agrupan en una tabla de distribución de frecuencias, se calcula la frecuencia relativa acumulada para cada valor y se grafican en una hoja de papel de probabilidad normal. Si la suposición es válida los puntos tenderán a agruparse sobre una línea recta que pasa por el punto medio.

- Trazado de los Residuos Contra Tratamientos, Bloques y Valores Ajustados

La presentación visual en el bloque completo aleatorizado implica graficar los residuos por separado para cada tratamiento y para cada bloque. El analista debe esperar variabilidad aproximadamente igual si es válida la suposición de igualdad de varianzas. En el caso de la gráfica de residuos contra valores estimados podría revelar violación a nuestra suposición de aditividad (es decir, ninguna interacción); si no hay interacción, debe aparecer un patrón aleatorio

- Estimación de Valores Perdidos

En ocasiones, cuando se utiliza un diseño aleatorizado por bloques completos, alguna de las observaciones en uno de los bloques puede faltar. Esto sucede debido algún descuido o error, o por razones fuera del control del experimentador, como sería el caso de la pérdida de alguna unidad experimental. Una observación faltante introduce un nuevo problema en el análisis, ya que los tratamientos dejan de ser ortogonales a los bloques. En otras palabras, cada tratamiento no ocurre en cada bloque. Existen dos formas generales de resolver el problema de los valores faltantes. La primera es una análisis aproximado en el que se estima la observación faltante. A continuación se efectúa el análisis de varianza usual como si la observación estimada fuera un dato real, disminuyendo los grados de libertad del error en uno. La segunda es un análisis exacto usando la prueba de significancia de regresión general.

Suponga que falta la observación [pic 62] correspondiente al tratamiento i y al bloque j. Esta observación se representa mediante x el gran total con una observación faltante se representará mediante [pic 63] y los totales del tratamiento y del bloque con un dato faltante como [pic 64] y [pic 65], respectivamente. Supongamos, además, que para estimar la observación faltante se elige x, de manera que tenga una contribución mínima a la suma de cuadrados del error. Como la suma de cuadrados del error está dada por

[pic 66]

lo anterior equivale a escoger x, de tal forma que minimice

[pic 67]

o bien,

[pic 68]

en donde R incluye todos los términos que no contienen a x. Al derivar la SCE con respecto a x e igualar a cero se obtiene

[pic 69]

como un estimador para la observación faltante.

- El Diseño Cuadrado Latino

Un diseño cuadrado latino para p factores, o un cuadrado latino p x p, es un cuadrado que contiene p renglones y p columnas. Cada una de las p2 celdas contiene una de las p letras que corresponde a un tratamiento, y cada letra aparece una sola vez en cada renglón y columna. El diseño cuadrado latino se usa para eliminar dos fuentes de variabilidad problemáticas; en otras palabras, permite analizar sistemáticamente por bloques en dos direcciones. A continuación se presentan algunos ejemplos de cuadrados latinos.

4 x 4 _ 5 x 5 6 x 6

A B D C A D B E C A D C E B F

B C A D D A C B E B A E C F D

C D B A C B E D A C E D F A B

D A C B B E A C D D C F B E A

E C D A B F B A D C E

E F B A D C

El modelo estadístico del diseño cuadrado latino es

[pic 70]

en donde

[pic 71] observación correspondiente al i-ésimo renglón, la k-ésima columna y el j-ésimo tratamiento

[pic 72] la media general

[pic 73] es el i-ésimo efecto de renglón

[pic 74] es el j-ésimo efecto de tratamiento

[pic 75] es el k-ésimo efecto de la columna

[pic 76] es el error aleatorio

El modelo es completamente aditivo, en otras palabras, no existe interacción entre los renglones, las columnas y los tratamientos. Sólo dos de los subíndices i, j y k se requieren para especificar una observación en particular porque únicamente hay una observación en cada celda.

El análisis de varianza consiste en descomponer la suma total de cuadrados de las [pic 77] observaciones en sus componentes de renglón, columna, tratamiento y error

[pic 78]

cuyos grados de libertad son

[pic