Demonstración de la Regla de L’Hospital y su aplicación para el cálculo de límites

...

[pic 71]

Un caso especial en la regla de L’Hospital

En la situación especial de la regla de L’Hospital se da que:

- [pic 72]

- existe[pic 73]

- [pic 74]

- Y existe[pic 75]

Entonces si esto se da tenemos:

[pic 76]

Si nos damos cuenta es lo mismo que decir ; pero si las derivadas existen, es decir , podemos obtener el límite. Entonces esta expresión se parece mucho a la regla de L’Hopital, pero es un subconjunto de ella. Para demostrar esto diremos que si usamos la definición de derivadas podríamos obtener que:[pic 77][pic 78][pic 79]

[pic 80]

Esto claramente es una pendiente entre dos puntos. Es decir que en una función de , la pendiente estaría entre los puntos ( y . De la misma manera se da que:[pic 81][pic 82][pic 83]

[pic 84]

Asi que podemos escribirlo de esta forma:

[pic 85]

Ahora para poder reducir más multiplicaremos todo por , Entonces:[pic 86]

[pic 87]

Sabiendo que y la expresión se reduce finalmente a:[pic 88][pic 89]

[pic 90]

Resolviendo límites con la Regla de L’Hopital

En esta sección resolveré 3 ejemplos límites usando la Regla de L’Hopital.

Primer ejemplo de límite

[pic 91]

Resolvemos y se daría en la indeterminada forma de:

[pic 92]

Aplicamos la regla de L’Hopital y veamos si podemos hallar el límite con la derivada de este límite (usando también la regla de la cadena):

[pic 93]

Evaluando este límite obtenemos:

[pic 94]

En este caso obtenemos nuevamente . Sin embargo, esto no significa que el límite no exista. Simplemente debemos aplicar la regla de L’Hopital nuevamente. Entonces, anteriormente teníamos esto:[pic 95]

[pic 96]

Derivándolo una vez más obtenemos:

[pic 97]

Resolvemos y a primera vista nos damos cuenta que el nuevamente nos da como resultado . Así que derivamos una vez más:[pic 98][pic 99]

[pic 100]

Resolvemos y entonces:

[pic 101]

Ahora que tenemos la constante, finalmente podemos concluir que:

[pic 102]

Segundo ejemplo de límite

[pic 103]

Resolvemos y nuevamente nos daría la forma indeterminada de:

[pic 104]

Aplicamos la regla de L’Hopital derivando:

[pic 105]

A primera vista vemos que nos sale nuevamente . Por lo tanto derivamos nuevamente:[pic 106]

[pic 107]

Así que en este ejemplo concluimos que:

[pic 108]

Tercer ejemplo de límites

[pic 109]

Resolviendo nos resultaría:

[pic 110]

Como sale una indeterminada, derivamos el límite:

[pic 111]

Como podemos ver esto sería:

[pic 112]

Aplicaremos nuevamente la regla de L’Hopital usando la derivada y resolvemos:

[pic 113]

Nuevamente como conclusión obtenemos que:

[pic 114]

Conclusión

Al demostrar, investigar su origen, y resolver ejemplos de la regla de L’Hopital he podido darme cuenta de su importancia para el cálculo de límites. A primera vista puede parecer muy sencilla; sin embargo es una herramienta muy útil y poderosa a la hora de aprender cálculo diferencial. Además en esta exploración he podido relacionar este tema de la regla de L’Hospital con temas que ya había visto anteriormente en mis clases de matemáticas como son los limites, límites al infinito, etc (aunque rara vez lo hayamos mencionado en clase).; ampliando mis conocimientos matemáticos y pudiendo ver los limites desde otra perspectiva. Sin embargo esta regla tiene limitaciones ya que solo se puede aplicar a cierto tipo de límites, y ya que el tema de la resolución de límites con teoremas y reglas es muy amplio dejare esto como un tema a investigar en el futuro.

Bibliografía

Sitios web:

TSISCHANKA, Kyril. Indeterminate forms and L’hopital’s rule. [citado el 24-09-14] https://cims.nyu.edu/~kiryl/Calculus/Section_3.7--Indeterminate_Forms_and_L'Hospitals_Rule/Indeterminate_Forms_and_LHospitals_Rule.pdf [en línea]

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