ELEMENTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

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- Determine la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas:

L’ : 3x + 4y – 1 = 0 y L” : 2x + y – 4 = 0, y sea perpendicular a la recta cuya ecuación es x – y – 1 = 0.

- Dos rectas se cortan formando un ángulo de 135°. Si la recta final tiene una pendiente igual a -3, ¿cuál es la pendiente de la recta inicial?

La circunferencia

- Determine la ecuación de la circunferencia,

a) de centro el punto (3,-1) y radio 5.

b) de centro el punto (0,5) y radio 5.

c) de centro el punto (0, 0) y radio 4.

d) de centro el punto (2, 0) y radio 2.

- Encuentre el centro y radio de las circunferencias :

a) [pic 2]. b) [pic 3].

c) [pic 4]. d) [pic 5].

e) [pic 6]

- Determine la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento que une los puntos : A (−3, 5) y B (7, −3).

- Encuentre la ecuación de la circunferencia de centro A(−4, 3) y que sea tangente al eje Y.

- ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia de centro B(3, −4) y que pase por el origen?

- Halle la ecuación de la circunferencia de radio r = 8, que sea tangente a los ejes coordenados y cuyo centro esté en el primer cuadrante.

- Calcule el área y el perímetro de la circunferencia cuya ecuación es :

[pic 7].

- Una circunferencia de radio 5 pasa por los puntos A(0, 2) y B(7, 3). Encuentre sus dos ecuaciones.

- Determine la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (−1, 0) y (0, 1), y es tangente a la recta x – y = 1.

- Encuentre la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por el punto A(6, 0).

- El centro de una circunferencia que pasa por (1, −2) y (−2, 2) está situado sobre la recta de ecuación 8x – 4y + 9 = 0. ¿Cuál es su ecuación?

- Demuestre que las circunferencias cuyas ecuaciones son [pic 8] y [pic 9] son concéntricas.

- Determine la ecuación, el centro y el radio de la circunferencia que pasa por A(4, −1), B(0, −7) y C(-2,-3).

La Parábola

- Determine las coordenadas del foco, longitud del lado recto y la ecuación de la directriz de las siguientes parábolas :

a) [pic 10]. b) [pic 11]. c) [pic 12].

- Halle la ecuación de las parábolas conforme los datos que se indican:

a) Foco F(0, 3), Directriz : y + 3 = 0.

b) Foco F(0, 6), Directriz el eje X.

c) Vértice V(0, 0), Eje de simetría, el eje de coordenadas Y , y que pase por (6, −3).

d) Vértice V(4, −1), Eje de simetría la recta y + 1 = 0 y que pase por el punto (3, −3)

e) Vértice V(3, −2), Foco F(3, 1).

f) Vértice V(3, −1), Foco F(3, −4).

g) Foco F(−1, −2), lado recto el segmento que une los puntos (−4, −2) y (2, −2).

h) Vértice V(1, 2), eje de simetría la recta x = 1.

- Grafique las siguientes parábolas e indique: i) Las coordenadas del vértice.

ii) Las coordenadas del foco. iii) La longitud del lado recto.

iv) La ecuación de la directriz.

a) [pic 13]

b) [pic 14].

c) [pic 15].

d) [pic 16].

- Determine el eje de simetría y la ecuación de la parábola cuyo vértice está en el origen y su directriz la recta y – 5 = 0.

- Los extremos del lado recto de una parábola se unen con el punto de intersección del eje con la directriz. Demuestre que estas rectas son perpendiculares entre sí.

- Encuentre la ecuación de la parábola de eje vertical y que pasa por los puntos A(4, 5), B(−2, 11) y C(−4, 21).

- Determine la ecuación de la tangente a la parábola [pic 17] que es perpendicular a la recta 2x + y + 7 = 0.

- Una cuerda de la parábola [pic 18] es un segmento de la recta x – 2y + 3 = 0. Calcule la longitud de esta cuerda.

- Un reflector parabólico tiene su fuente luminosa ubicada en el foco. Determine este foco si se sabe que el reflector tiene 1 metro de profundidad y 3 metros de diámetro.

- El cable de suspensión de un puente colgante adquiere la forma de un arco de parábola. Los pilares que lo soportan tienen una altura de 60 m. y están separados por una distancia de 500 m., quedando el punto más bajo del cable a una altura de 10 m. sobre la calzada del puente. Tomando como eje X la horizontal que define el puente, y como eje Y, el de simetría de la parábola, determine la ecuación de ésta y calcule la altura de un punto situado a 80 m. del centro del puente.

La Elipse

- Muestre a través de un gráfico que las ecuaciones dadas representan elipses. Indique, para cada una de ellas, su centro, longitud de los semi-ejes mayor y menor, longitud de los lados rectos, coordenadas de los focos y vértices, excentricidad y ecuación de las directrices.

- [pic 19].

- [pic 20]

- [pic 21].

- [pic 22].

- [pic 23].

- [pic 24]

- [pic 25]

- [pic 26]

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