Ejercicio ing de metodos.

...

Ejemplo #1

Evaluar

- [pic 93]

Solución La simple sustitución [pic 94]no va a servir pues [pic 95].

Para integrar potencias del coseno necesitaríamos un factor sen x extra. También una potencia del seno necesitaría un factor [pic 96]de más. De modo que se puede separar un factor del coseno y convenir el que queda, es decir, [pic 97], en una expresión que contenga el seno por medio de la identidad [pic 98]

[pic 99]

Es útil contar con el factor adicional, luego se evalúa la integral sustituyendo [pic 100]y [pic 101], y

[pic 102]

[pic 103]

[pic 104]

En general trataremos de escribir un integrado que contenga potencias de seno y de coseno en una forma que contenga un solo factor de seno ( y lo restante de la expresión en términos de coseno) o bien un solo factor coseno ( y lo demás en términos de seno), la identidad [pic 105]nos permite convertir de potencias pares de seno a potencias pares de coseno e inversamente.

Ejemplo #2

Determine

- [pic 106]

Solución Podríamos convertir [pic 107]a [pic 108]pero nos quedaríamos con una expresión en términos de [pic 109]sin factor [pic 110]extra. En vez de eso, separamos un solo factor seno y reescribimos el factor [pic 111]restante en términos de [pic 112] :

[pic 113]

Sustituyendo [pic 114], tenemos [pic 115]luego

[pic 116]

[pic 117]

[pic 118]

[pic 119]

[pic 120]

En los ejemplos anteriores una potencia impar del seno o el coseno nos permitió separa un factor simple y convertir la potencia complementaria. Si el integrando contiene potencias pares de seno tanto como de coseno esta estrategia falla. En este caso aprovechamos las identidades del ángulo mitad.

[pic 121]y [pic 122]

Ejemplo #3

Evaluar

- [pic 123]

Solución

Si escribimos [pic 124], la integral no queda mejor. Pero usando la fórmula del ángulo mitad para [pic 125], tenemos

[pic 126]

Observamos que, mentalmente, hicimos la sustitución [pic 127]al integrar [pic 128].

Ejemplo #4

Determine

- [pic 129]

Es posible evaluar esta integral con la fórmula de reducción para [pic 130]con el resultado del ejemplo 1, pero otro método es expresar [pic 131]y aplicar la fórmula del ángulo mitad;

[pic 132]

[pic 133]

[pic 134]

Ya que se representa con [pic 135], debemos emplear otra fórmula de mitad de ángulo.

[pic 136]

Con esto llegamos a

[pic 137]

[pic 138]

[pic 139]

Como resumen, listamos los lineamientos a seguir al evaluar integrales de la forma [pic 140]donde [pic 141]y [pic 142]son enteros.

Cómo evaluar [pic 143]

(a) Si la potencia del coseno es impar (n=2k+1) , aparte un factor de coseno y emplee [pic 144]para expresar los factores restantes en términos del seno:

[pic 145]

=\int sen^mx(1-sen^2x)^kcosxdx

A continuación, sustituya [pic 146]

(b)Si la potencia sel seno es impar ([pic 147], aparte un factor del seno y use [pic 148]para expresar los factores restantes en términos del coseno:

[pic 149]

[pic 150]

Luego, reemplace [pic 151]. Advierta que si las potencias de sen y de cos son ambas impares use (a) o (b)

(c)Si las potencias del seno y coseno son pares a la vez, aplicamos las identidades de mitad del ángulo:

[pic 152][pic 153]

A veces es útil emplear la identidad

[pic 154]

Usaremos una estrategia similar para evaluar integrales de la forma [pic 155]. Sabiendo que (d/dx) [pic 156], podemos separar un factor [pic 157]y convertir la potencia restante (impar) de secante a una expresión que contiene tangente usando la identidad [pic 158]. O, ya que (d/dx) [pic 159], podemos separar un factor sec x tan x y convertir la potencia restante(par) de tangente a secante.

Ejemplo #5

Encontrar

- [pic 160]

= [pic 161]

= [pic 162]

= [pic 163]

= [pic 164]

Ejemplo #6

Encuentre:

[pic 165]

Esta integral puede escribirse como:

[pic 166]

Y en tal caso realizamos lo siguiente:

[pic 167]

[pic 168]

Se procede a integrar por el método de sustitución tomando [pic 169]y [pic 170]:

[pic