“El estudio profundo de la naturaleza es la fuente más fértil de descubrimientos matemáticos”

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Observamos que (3, 4, 1, 2) es combinación lineal de los anteriores, luego A − {(3, 4, 1, 2)} = {(1, 2, −1, 3),(2, 1, 0, −2),(0, 1, 2, 1)} es también sistema generador de S.

Pero (0, 0, 0, 0) = β1(1, 2, −1, 3) + β2(2, 1, 0, −2) + β3(0, 1, 2, 1) ⇒

0 = β1 + 2β2 + 3β3

0 = 2β1 + β2 + β3

0 = −β1 + 2β3

0 = 3β2 − 2β2 + β3

y el sistema anterior sólo tiene por solución a β1 = β2 = β3 = 0, es decir, {(1, 2, −1, 3),(2, 1, 0, −2),(0, 1, 2, 1)} es libre. Por consiguiente una base de S es {(1, 2, −1, 3), (2, 1, 0, −2),(0, 1, 2, 1)} y la dimensión de S es 3.

- Determinar el valor de x para que el vector (0, 4, x, -2) [pic 11][pic 12]4 pertenezca al subespacio

S = { (1, 1, 2, 1), (2, 3, -1, 1), (-1, 0, 1, 4) }

a(1,1,2,1) + b(2,3,-1,1), + c(-1,0,1,4)

(a1+b2-c, a1+b3, a2-b+c, a1+b1+c4)=(w,x,y,z)

a+2b-c=0

a+3b=4

2a-b+c=x

a+b+4c=-2

[pic 13]

a=-7

b=11/3

c=1/3

2(-7)-11/3+1/3=x

-14-10/3=x

-42/3-10/3=x

-52/3=x

Solución: x=-52/3

- Determinar los valores de a y b, si es que existen, para que

{ (a, 1, -1, 2), (1, b, 0, 3) } = {1, -1, 1, -2), (-2, 0, 0, -6) }

Para que los dos subespacios coincidan, debemos pedir que (a, 1, −1, 2) y (1, b, 0, 3) se escriban como combinación lineal de (1, −1, 1, −2) y (−2, 0, 0, −6) y que ambos vectores sean linealmente independientes. Por tanto,

(a, 1, −1, 2) = α1(1, −1, 1, −2) + α2(−2, 0, 0, −6)

(1, b, 0, 3) = β1(1, −1, 1, −2) + β2(−2, 0, 0, −6) } ⇒

a = α1 − 2α2

1 = −α1

−1 = α1

2 = −2α1 − 6α2

1 = β1 − 2β2

b = −β1

0 = β1

3 = −2β1 − 6β2

y la solución al sistema anterior es: α1 = −1, α2 = 0, a = −1, β1 = 0, β2 = − 1 2 y b = 0. Por tanto, (a, 1, −1, 2) = (−1, 1, −1, 2) y (1, b, 0, 3) = (1, 0, 0, 3) y ambos vectores son linealmente independientes