En este trabajo consideramos un problema en el que se integran las decisiones de producción

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los niveles primero y tercero están capacitados para un modelo de cadena de suministro en serie de dos niveles con capacidades sólo en el primer nivel . Llamaremos el problema de determinar la producción óptima, el transporte y los tamaños de lotes de inventario en una cadena de suministro en serie como se describe arriba y bajo capacidades de producción a nivel de producción el problema de tamaño de lotes multinivel con capacidad de producción. En general, este problema es NP-duro, ya que es una generalización directa del NP-ELSP duro con capacidades generales de producción (véase Florian et al., 1980). El ELSP con capacidades de producción estacionarias, sin embargo, es soluble en tiempo polinomial (véase Florian y Klein 1971). Debido a que nuestro objetivo es identificar casos polinomialmente solubles del MLSP-PC, asumiremos en la mayor parte de este documento que las capacidades de producción son estacionarias. Se estudian problemas relacionados con la producción cóncava general, la tenencia de inventario y los costos de transporte, así como problemas con los costos de mantenimiento de inventario lineal y dos estructuras de costos de transporte diferentes: (i) costos de transporte lineales; Y (ii) costos de transporte de carga fija sin motivos especulativos, lo que significa que con respecto a los costos variables, mantener el inventario es menos costoso en niveles más altos que en niveles inferiores en la cadena de suministro. Nuestros métodos de solución se basan en un marco de programación dinámica que utiliza un principio de descomposición que generaliza la propiedad clásica de ordenamiento cero (ZIO)

De soluciones a problemas de tamaño de lotes sin capacidad como se describe en Zangwill (1969) para el caso multinivel y, por ejemplo, en Wagner y Whitin (1958) para el caso de un solo nivel. En particular, en nuestro modelo de dos niveles trabajamos con el nuevo concepto de un subplan, y mostramos que las soluciones extremas se descomponen en una serie de subplanes consecutivos. Nuestros algoritmos para este modelo se ejecutan en tiempo polinomial en el horizonte de planificación del problema. La generalización directa de este enfoque para el caso multinivel conduce a un tiempo de ejecución muy grande. Logramos ahorros sustanciales introduciendo el concepto de un subplanaje relajado. A diferencia de los enfoques existentes en la literatura, nuestro programa dinámico no representa necesariamente todas (o incluso sólo) soluciones extremas para el MLSPPC. Además, mientras que las trayectorias en el programa dinámico corresponden todas a soluciones factibles del problema, los costes de un camino pueden sobrestimar los costes de la solución correspondiente al problema. Sin embargo, podemos demostrar (basado en la concavidad de las funciones de coste) que nuestro programa dinámico resuelve el MLSP-PC a la optimalidad. El algoritmo resultante para el caso de las funciones generales de costes cóncavos es exponencial en el número de niveles en la cadena de suministro. Sin embargo, es notablemente insensible al número de niveles para las dos estructuras de costos específicas mencionadas anteriormente. Este artículo está organizado de la siguiente forma: En el § 2, introducimos el MLSP con costos de producción y producción general cóncava no decreciente, transporte y mantenimiento de inventario. Caracterizamos los puntos extremos de la región factible del problema y probamos un resultado de descomposición que formará la base de nuestros algoritmos. En el § 3, se estudia el problema de dos niveles y se proporciona un marco de programación dinámica general basado en el resultado de descomposición derivado anteriormente, lo que genera un algoritmo de tiempo polinomial en el horizonte de planificación para los costes cóncavos generales. En el § 4, este algoritmo se generaliza al problema de tamaño de lotes de niveles múltiples y se muestra que sigue siendo polinómico en el horizonte de planificación y se dan mejores tiempos de ejecución para dos variantes del modelo. El artículo termina en el § 5 con algunas observaciones finales y cuestiones para futuras investigaciones.

2. Modelo de Formulación y Análisis

2.1. El modelo Como se describe en la introducción, estudiaremos un problema de dimensionamiento de lotes de varios niveles con una estructura en serie. En cada período, la producción puede tener lugar en el fabricante. Los artículos que se producen pueden ser almacenados a nivel de fabricante o transportados al primer nivel de almacén. En cada uno de los niveles de almacén, los productos se almacenan de nuevo o se transportan al almacén al siguiente nivel. Desde el almacén final los productos son entonces (posiblemente después de haber sido almacenados durante algún período) transportados al minorista. Consideramos un horizonte de planificación de períodos T. En cada período t, el minorista enfrenta una demanda no negativa dada por dt, mientras que la capacidad de producción del fabricante en el período t es igual a bt. Vamos a considerar un total de L niveles, que incluye el fabricante, el minorista, y L - 2 almacenes intermedios. Decimos que el fabricante está en el primer nivel de la cadena, y el minorista está en el nivel Lth. Cada uno de los niveles intermedios corresponde a un almacén. Sea + el conjunto de números reales no negativos. Para cada período t = 1 T, los costes de producción son dados por la función pt + → +, los costes de transporte de nivel a nivel + 1 son dados por la función ct + → + (= 1 L-1) y el inventario Los costes de mantenimiento a nivel se dan por la función ht + → + (= 1 L). A lo largo del trabajo, asumiremos que todas las funciones de costo son cóncavas, no decrecientes e iguales a cero cuando su argumento es cero. El MLSP-PC puede formularse como sigue: minimizar Tt = 1 pt yt + L -1 = 1 ctxt + L = 1 ht I t P sujeto a x1 t + I 1 t = yt + I 1 t-1 t = 1 T (1) xt + I t = x -1 t + I t-1 t = 1 T = 2 L-1 (2) dt + IL t = xL-1 t + IL t-1 t = 3) yt ≤bt t = 1 T (4) I 0 = 0 = 1 L (5) yt ≥0 t = 1 T xt ≥0 t = 1 T = 1 L-1 I t ≥0 t = 1 T = 1 L donde yt denota la cantidad producida en el período t, xt es la cantidad enviada de nivel a nivel +1 en el período t, e I t denota la cantidad de inventario al nivel al final del período t. Restricciones (1) - (3) modelan el balance entre flujo de entrada, almacenamiento y salida en los niveles de fabricante, almacén y minorista, respectivamente, en cada período. La cantidad de producción en cada período está restringida por restricciones (4). Finalmente, las restricciones (5) indican que todos los niveles iniciales de inventario son iguales a cero. A diferencia del modelo tradicional de nivelación de lotes de un solo nivel, esto no es una suposición que podamos hacer sin pérdida de generalidad, debido a la no linealidad