Ensayo de Shuyriguin cuadrilátero cíclicos

...

α

β

β

B C

Ahora, observemos que ∡AP C = 180 − (α + β). Por otro lado, como α + β = ∡ABC = ∡CDB, se tiene que ∡ADC = 180 − (α + β) = ∡AP C. Obtenemos que el cuadril´atero CP DA es c´ıclico. Esto implica que ∡P DB = ∡P CA = β. Se sigue que los tri´angulos △CP A y △DP B son semejantes. Entonces, BD =

∡A = 2∡M BA.

Ejemplo 1.5.4 Sea △ABC un tri´angulo y sea D el pie de la altura desde A. Sean E y F sobre una l´ınea que pasa por D de tal manera que AE es perpendicular a BE, AF es perpendicular a CF , E y F son diferentes de D. Sean M y N los puntos medios de BC y EF , respectivamente. Demuestra que AN es perpendicular a N M.

A

α

F

β

θ N

α

E

θ β

B D M C

Demostraci´on. Tenemos que E est´a sobre la circunferencia circunscrita al tri´angu-lo △ABD y F est´a sobre la circunferencia circunscrita al tri´angulo △ADC, en-tonces los cuadril´ateros ABDE y ADCF son c´ıclicos. De lo anterior tenemos que ∡ABD = ∡AEF = α y ∡ACD = ∡AF E = β lo cual implica que △ABC ∼ △AEF. Tanto M como N son puntos medios de los lados correspondientes BC

EF , respectivamente, y esto implica que ∡AM B = ∡AN E = ∡AN D = θ, es decir, el cuadril´atero ADM N es c´ıclico y por lo tanto ∡AN M = 90◦.

Ejemplo 1.5.5 Sean △ABC un tri´angulo acut´angulo y AD, BE y CF sus alturas. La circunferencia con di´ametro AD corta a los lados AB y AC en M y

32 Conceptos y teoremas b´asicos

N, respectivamente. Sean P y Q los puntos de intersecci´on de AD con EF y M N, respectivamente. Demuestra que Q es el punto medio de P D.

Demostraci´on. Como AD es di´ametro, los ´angulos ∡AM D y ∡AN D son rectos. El tri´angulo △ABD es entonces semejante al △ADM y de aqu´ı, AM · AB = AD2. An´alogamente, AN ·AC = AD2. Por lo tanto, AM ·AB = AN ·AC. Esto implica que los tri´angulos △AN M y △ABC son semejantes, ya que adem´as de tener una pareja de lados proporcionales tambi´en comparten el ´angulo ∡BAC. Se sigue que BCN M es un cuadril´atero c´ıclico.

A

α

E

P

F

N

α

Q

R

α

B D C

Por otro lado, como ∡BEC = ∡BF C = 90◦, el cuadril´atero BF EC tambi´en es c´ıclico. Entonces γ = ∡ACB = ∡AM N = ∡AF E. De aqu´ı, M N es paralela a F E. Adem´as, si T es el punto de intersecci´on de M N con CF , ∡CT N = ∡F T M = 90◦ − ∡T M F = 90◦ − γ = ∡CDN. Por lo tanto, el cuadril´atero DT N C es c´ıclico y entonces ∡DT C = ∡DN C = 90◦. El cuadril´atero DM F T tiene 3 ´angulos rectos, luego el cuarto ´angulo tambi´en es recto, es decir, se trata de un rect´angulo.

Tracemos F R paralela a P Q con R sobre M N, entonces los tri´angulos △F M R y △DT Q son de lados paralelos y como DT = F M los tri´angulos son congruentes, luego DQ = F R = P Q, por lo tanto Q es el punto medio de P D.

Ejemplo 1.5.6 Dos circunferencias de centros O1 y O2 se intersectan en los puntos A y B como se muestra en la figura. Por A se traza una recta l que

intersecta de nuevo a las circunferencias en los puntos M y N. Por M y N se trazan las l´ıneas tangentes respectivas y ´estas se intersectan en el punto P . La paralela a P N por O2 y la paralela a P M por O1 se intersectan en Q. Demuestra que las rectas P Q, al variar la recta l, pasan por un punto fijo y que la longitud del segmento P Q es constante.

T

α

P

Demostraci´on. Como vimos en el Ejemplo 1.5.1, el cuadril´atero BM P N es c´ıcli-co. Entonces ∡BP N = ∡BM N = α. Por otro lado, tenemos que ∡BO1O2 = ∡BM N y ∡BO2O1 = ∡BN M, lo cual implica que ∡O1BO2 = ∡M BN. Con esto hemos probado que el cuadril´atero BO1QO2 es c´ıclico. De aqu´ı ob-tenemos que ∡BQO2 = ∡BO1O2 = ∡BM N = α, lo cual implica que B, Q y P est´an alineados. De no ser as´ı, tendr´ıamos que BP intersectar´ıa a la l´ınea QO2 en un punto Q′ distinto de Q, pero entonces tambi´en tendr´ıamos que ∡BQ′O2 = ∡BP N = ∡BQO2 = α, lo que a su vez implicar´ıa que los puntos B, O1, Q, Q′ y O2 son conc´ıclicos. Esto es una contradicci´on, por lo tanto, B, Q y P est´an alineados.

Para la segunda parte consideramos la proyecci´on de Q sobre P N y la llamamos T . Sabemos que el ´angulo ∡BM A = α no depende de la elecci´on de la recta l, entonces, como la longitud del segmento QT es igual al radio de la circunferencia

34 Conceptos y teoremas b´asicos

de centro O2 y ∡QP T = α, tenemos que los tri´angulos △QP T siempre son congruentes. Por lo tanto, la longitud del segmento P Q no depende de la elecci´on de la l´ınea l.

1.5.1. Problemas

Problema 1.38 En la siguiente figura est´an trazadas las bisectrices 6 de los ´angulos interiores del cuadril´atero ABCD, las cuales se intersectan en los puntos E, F , G y H, como se muestra en la figura. Demuestra que el cuadril´atero EF GH es c´ıclico.

A

D