Expresa en números decimales las siguientes fracciones.

...

Así pues sus áreas no son iguales.

11. Determine el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6cm.

Un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia tiene la característica de estar circunscrito lo que significa que el centro del círculo corresponde con la intersección de las bisectrices de los ángulos del triángulo, por lo tanto el radio del círculo corresponde a la distancia del centro del círculo a cualquiera de los vértices del triángulo equilátero, y la distancia del centro del círculo a la mitad de cualquiera de sus lados corresponde a la mitad de la distancia del radio.

Si trazamos un radio de la circunferencia hacia un vértice del triángulo y hacemos un segmento de recta bajar del centro al lado más cercano del vértice al cual trazamos el radio tenemos una sección triangular dentro del triángulo equilátero, una sección en forma de triángulo rectángulo a la cual podemos aplicar el teorema de Pitágoras para obtener el cateto que nos falta y después multiplicar por 2 el valor que obtengamos y así obtendremos el valor de sus lados, y como la altura corresponde a la suma del cateto que está dentro del triángulo equilátero más el valor del radio tendremos que la altura para este triángulo inscrito es de 9cm, luego con ese valor obtendremos su área, por lo tanto tenemos que:

[pic 78]

[pic 79]

Luego su área es de:

[pic 80]

12. Dado un triángulo equilátero de 6cm de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita por los radios que pasan por los vértices.

Dado que todos los ángulos del triángulo equilátero son iguales estos deben de ser de 60° ya que la suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180°, luego la sección triangular forma un triángulo isósceles, con 2 lados iguales a el radio de la circunferencia y un lado igual a 6m de longitud, si partimos el triángulo isósceles con la mediatriz del lado que conocemos obtenemos 2 secciones de forma de triángulo rectángulo, con ángulos de 60°,90° y 30° por lo que el ángulo que se forma en el vértice donde coinciden los radios es de 120° luego aplicando la ley de senos podemos encontrar el valor de los radios, así pues tenemos que:

[pic 81]

[pic 82]

[pic 83]

13. Determinar el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84cm

Si el cuadrado está inscrito en el círculo la diagonal que pasa por los vértices del cuadrado es igual al diámetro del círculo, luego el radio será la mitad de esa medida.

El problema nos dice que la longitud de la circunferencia o sea el perímetro es de 18.84cm y sabemos que el perímetro de una circunferencia se calcula con:

entonces [pic 84][pic 85]

Luego la hipotenusa de una sección triangular del cuadrado será igual a 2r, si los lados son iguales tenemos que:

, luego , luego [pic 86][pic 87][pic 88]

14. En un cuadrado de 2m de lado se inscribe un círculo, dentro de este círculo se inscribe un cuadrado y dentro de este último cuadrado, otro círculo, halla el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo.

El problema va en proporciones, si tenemos que un círculo está inscrito dentro de un cuadrado, la razón de proporción de sus áreas está dada por la razón de sus áreas, luego:

[pic 89]

Sabemos que como el círculo está inscrito en el cuadrado la circunferencia toca al cuadrado por dentro en 4 puntos estos puntos son tangentes a la circunferencia, luego si se traza una recta de extremo a extremo ésta será su diámetro, por lo que su radio será de 1m, y la razón de proporción de sus áreas será de lo mismo que para todos los círculos y cuadrados inscritos dentro de sí mismos.[pic 90]

El área del último cuadrado es de 2m2 y la del círculo inscrito en este último es de luiego su razón de proporción es la misma si se divide.[pic 91]