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La derivada como razón de cambio instantánea.

Enviado por   •  5 de Febrero de 2018  •  1.204 Palabras (5 Páginas)  •  431 Visitas

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Además, el estudio de la lluvia tiene importantes aplicaciones:

Recordemos que un tercio de la economía (agricultura, aviación, etc.) está influida directa o indirectamente por la capacidad de predecir la lluvia de manera fiable, y esto representa mucho dinero. Los modelos de predicción de tiempo atmosférico dependen de simplificaciones sobre cómo las gotas de lluvia crecen o se mueven, por lo que un mejor entendimiento de este tipo de procesos, en los que las gotas interaccionan entre sí, puede mejorar los modelos y hacer que estos sean más fiables. [5]

Supongamos una gota de lluvia, se sabe que la lluvia cae a 2000 metros de la superficie[6], y consideremos la fuerza de gravedad en sentido negativo

[pic 88]

Integrando

[pic 89]

Entonces,

[pic 90]

En este modelo la velocidad de la gota de lluvia es 0 justo al desprenderse de la nube, es decir, . Por consiguiente,[pic 91]

[pic 92]

[pic 93]

La velocidad de la gota de lluvia con función del tiempo es

[pic 94]

Una gota de agua de lluvia cae a través de una nube de pequeñas gotitas. A medida que cae, incrementa su masa al chocar con las pequeñas gotitas.

Por consiguiente se tomara la masa como una función del tiempo [pic 95]

Y la rapidez de crecimiento será [pic 96]

[pic 97]

[pic 98]

[pic 99]

[pic 100]

Factorizamos el lado izquierdo

[pic 101]

Se cancelan las variables de ambos lados[pic 102]

[pic 103]

Despejamos nuestra variable para obtener una ecuación diferencial separable[pic 104]

[pic 105]

Por lo tanto, es una ecuación separable, ya que tenemos de un lado la derivada y del otro una multiplicación que separa las variables, colocamos en el lado izquierdo la variable y en el lado derecho la variable .[pic 106][pic 107]

[pic 108]

Integramos de ambos lados nuestra ecuación

[pic 109]

[pic 110]

[pic 111]

Simplificamos, la ecuación

[pic 112]

Por lo tanto utilizamos las leyes de logaritmo, para simplificar la ecuación

[pic 113]

[pic 114]

[pic 115]

De tal manera tendremos, nuestra[pic 116]

[pic 117]

[pic 118]

[pic 119]

Una vez tenido nuestra condición, la sustituimos

[pic 120]

Despejamos, nuestra variable [pic 121]

[pic 122]

[pic 123]

[pic 124]

[pic 125]

[pic 126]

[pic 127]

[pic 128]

[pic 129]

[pic 130]

[pic 131]

[pic 132]

Supongamos que K= 1.21

[pic 133]

[pic 134]

[pic 135]

[pic 136]

[pic 137]

[pic 138]

---------------------------------------------------------------

[pic 139]

Se integra la aceleración para obtener la velocidad

[pic 140]

[pic 141]

[pic 142]

Esta integral indefinida requiere una constante de integración. Pero en este caso en física, la constante de integración tiene un significado definido, en la cual se determina como condición inicial.

[pic 143]

Nuestra condición inicial será en se tiene velocidad inicial, es decir[pic 144]

[pic 145]

Porque solo conocemos . Así mismo tomamos nuestra función y sustituimos [pic 146]

[pic 147]

[pic 148]

[pic 149]

Una vez teniendo nuestra condición, la sustituimos en nuestra función

[pic 150]

Así obtenemos la fusión de velocidad, y para regresar a nuestra función de aceleración aplicamos la derivada.

Bibliografía

Tippens Paul, Física. Conceptos y aplicaciones, Séptima Edición, Mc Graw Hill, 2007.

Stewart James, Calculo de una variable, trascedentes tempranas, Sexta Edición, Cengage Learning.

Neo Fronteras: Portal de Ciencias y Tecnología, Sobre la velocidad de las gotas de lluvia, Meteorología, junio

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