Las ondas estacionarias son consecuencia de la superposición, de la interferencia de dos ondas armónicas de igual amplitud y frecuencia que se propagan en sentido contrario.

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Img. Parcialmente destructiva Img. Interferencias constructiva y destructiva[pic 40]

Ondas estacionarias en una cuerda

Sucede cuando una onda senoidal es reflejada por un extremo fijo de una cuerda, considerando la superposición de dos ondas que se propagan por la cuerda, una que representa la onda original o incidente, y otra que representa la onda reflejada en el extremo fijo.

A continuación se muestra una cuerda fija en su extremo izquierdo. El extremo derecho se sube y baja en movimiento armónico simple para producir una onda que viaja a la izquierda; la onda reflejada del extremo fijo viaja a la derecha. El movimiento resultante cuando se combinan las dos ondas ya no parece dos ondas que viajan en direcciones opuestas. Las ondas estacionarias no son ondas de propagación sino los distintos modos de vibración de una cuerda, una membrana, etc

[pic 41]a) Cuerda con media longitud de onda b) Cuerda de una longitud de onda c) Cuerda de 1 y ½ longitud de onda (Zemansky, 2009)

[pic 42]

d) cuerdas con 2 longitudes de onda e) Forma de la cuerda en b) en dos instantes diferentes

(Zemansky, 2009)

La diferencia con las ondas viajeras radica en que, en una onda que viaja por la cuerda, la amplitud es constante y el patrón de la onda se mueve con rapidez igual a la rapidez de la onda. Aquí, en cambio, el patrón de la onda permanece en la misma posición en la cuerda, y su amplitud fluctúa. Hay ciertos puntos llamados nodos que nunca se mueven. A la mitad del camino entre los nodos hay puntos llamados antinodos donde la amplitud de movimiento es máxima. Dado que el patrón no parece estarse moviendo a lo largo de la cuerda, se denomina onda estacionaria.

Onda estacionaria

Se trata de un caso particular de interferencias, ocurre cuando dos ondas periódicas senoidales de la misma amplitud y frecuencia se mueven en direcciones opuestas una al encuentro de la otra. Si las ondas estacionarias son transversales estas ondas periódicas deben tener también igual polarización.

Ecuación: Sean las ondas, cuya resultante deseamos:

y [pic 43][pic 44]

Que corresponden a dos ondas que se propagan en las direcciones de +x y –x, respectivamente. La resultante es:

[pic 45]

Podemos obtener la expresión formal para la onda estacionaria producida por dos ondas de longitud de onda idéntica pero propagándose en dirección opuesta. Las dos ondas cuya resultante deseamos son:

[pic 46]

El principio de superposición explica cómo la onda incidente y la reflejada se combinan para formar una onda estacionaria

En la siguiente figura las ondas se muestran en nueve instantes, separados por 1/16 de periodo. En cada punto de la cuerda, sumamos los desplazamientos (valores de y) para las dos ondas individuales; el resultado es la onda total en la cuerda, dibujada en color marrón.

[pic 47]

Img: Formación de una onda estacionaria. (Zemansky, 2009)

El desplazamiento resultante siempre es cero en los lugares marcados con N en la base de la figura. Éstos son los nodos. En un nodo, los desplazamientos de las dos ondas en rojo y azul siempre son iguales y opuestos, y se cancelan. Esta cancelación se llama interferencia destructiva. A la mitad del camino entre los nodos están los puntos de máxima amplitud o antinodos, marcados con A. En los antinodos, los desplazamientosde las dos ondas en rojo y azul siempre son idénticos, dando un desplazamiento resultante grande; este fenómeno se llama interferencia constructiva.

Podemos ver que la distancia entre nodos o antinodos sucesivos es media longitud de onda, λ/2 .

Modos normales de una cuerda.

Consideremos ahora una cuerda de longitud definida L, sujeta rígidamente en ambos extremos. Tales cuerdas se encuentran en muchos instrumentos musicales, como pianos, violines y guitarras.

Para entender estas propiedades de las ondas estacionarias en una cuerda fija en ambos extremos, veamos primero lo que sucede cuando establecemos una onda senoidal en una cuerda así. La onda estacionaria que resulta debe tener un nodo en ambos extremos de la cuerda. Anteriormente, vimos que dos nodos adyacentes están separados media longitud de onda (λ /2), así que la longitud de la cuerda debe ser , λ /2, o 2(, λ / 2), o 3(, λ / 2) o, en general, un número entero de medias longitudes de onda:

[pic 48]

Esto es, si una cuerda de longitud L está fija en ambos extremos, sólo puede existir una onda estacionaria si su longitud de onda satisface la ecuación anterior.

Despejando λ de esta ecuación y denotando los posibles valores de λ con λn, tenemos

[pic 49]

A la serie de posibles longitudes de onda estacionaria λ n corresponde una serie de posibles frecuencias de onda estacionaria cada una relacionada con su longitud de onda correspondiente por , La frecuencia más pequeña f1 corresponde[pic 50][pic 51]

a la longitud de onda más grande (el caso n = 1), [pic 52]

Ésta se llama frecuencia fundamental[pic 53]

Las otras frecuencias de onda estacionaria son

; , Etc y podemos expresar todas las frecuencias como:[pic 54][pic 55]

[pic 56]

Estas frecuencias se llaman armónicos, y la serie es una serie armónica. Algunos músicos llaman a f2, f3, etcétera, sobretonos; f2 es el segundo armónico o el primer sobretono, f3 es el tercer armónico o el segundo sobretono, y así sucesivamente. El primer armónico es la frecuencia fundamental

Un modo normal de un sistema oscilante es un movimiento en el que todas las partículas del sistema se mueven senoidalmente con la misma frecuencia. En el caso de un sistema compuesto por una cuerda de longitud L fija en ambos extremos, cada una de las longitudes de onda dadas corresponde al patrón y a la frecuencia de un posible modo normal.