Tema: Ondas estacionarias.

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[pic 31]. (5)

La Figura 3 muestra como ejemplo del principio de superposición para dos pulsos de diferente amplitud contrapropagándose, se observa claramente como la amplitud resultante es la suma directa entre las amplitudes de los pulsos. Además, una vez que los pulsos chocan, cada uno continua su viaje con la misma forma que tenían antes del choque, es decir, la superposición de onda no destruye la “individualidad” de cada oscilación.

[pic 32]

Figura 3. Las figuras de la izquierda (a), (b), (c) y (d) muestran un esquema en el cual dos pulsos de diferente amplitud se propagan en una cuerda, observándose como la amplitud total de la oscilación es una suma directa de la amplitud de cada pulso. La figura de la derecha (e), muestra las fotografías correspondientes a los esquemas de la izquierda (Serway).

2.3 Ondas estacionarias.

Nosotros suponemos que en la misma cuerda se contrapropagan en fase (tienen el mismo perfil espacial para [pic 33]), dos ondas con igual número de onda [pic 34] e igual frecuencia angular [pic 35]. Las ecuaciones son las siguientes:

[pic 36] (6)

[pic 37], (7)

donde la Ecuación 6 corresponde a una onda propagándose en el sentido positivo de x y la Ecuación 7 corresponde a una onda propagándose en el sentido negativo de x. Las ondas cumplen con el principio de superposición de su amplitud, por lo que la amplitud total de la oscilación en la cuerda es:

[pic 38],

haciendo un poco de trigonometría podemos arreglar esta ecuación en una forma conveniente como se sigue a continuación:

[pic 39]

[pic 40] (9)

La Ecuación 9 muestra que el resultado de la superposición es una función de onda que se divide en dos funciones independientes, donde la primera función depende sólo de la posición y la segunda sólo del tiempo. La parte dependiente de la posición determina el perfil espacial y la parte dependiente del tiempo determina el cómo oscila este perfil. La parte espacial muestra que la posición de los mínimos y máximos no cambian con el tiempo, siendo la ubicación para los mínimos en [pic 41] ([pic 42]) y para los máximos en [pic 43] ([pic 44]), con [pic 45]. En general a los mínimos se les denomina nodos y a los máximos antinodos. El hecho que mínimos y máximos mantengan ubicaciones fijas en el espacio es la razón de porque se habla de Ondas Estacionarias.

[pic 46]

Figura 4. Onda estacionaria en una cuerda (Serway).

2.4 Ondas estacionarias en una cuerda de largo L sujeta en los extremos.

Si se considera que la cuerda está fija en los extremos entonces la parte dependiente de x de la función de onda debe cumplir con la siguiente igualdad:

[pic 47], (10)

donde esto se cumple, si sólo si,

[pic 48] (11)

La Ecuación 11 implica que para que exista una onda estacionaria en una cuerda de largo L se tiene que cumplir que [pic 49] sea un múltiplo entero de [pic 50]. Es así como la función de onda toma la forma:

[pic 51]. (12)

El número [pic 52] determina la forma de la onda estacionaria. Cuando [pic 53] se habla del primer armónico, cuando [pic 54] se habla del segundo armónico y así sucesivamente. A continuación se muestra las funciones de ondas de los primeros cuatro armónicos:

[pic 55].

[pic 56]

Figura 5. Ondas estacionarias en una cuerda de largo L sujeta en los extremos. (a) Ausencia de oscilación [pic 57], (b) primer armónico [pic 58], (c) segundo armónico [pic 59] y (d) tercer armónico [pic 60].

La Ecuación 11 nos muestra que sólo existirán ondas estacionarias para ciertos valores de [pic 61]. Esto también implica algunas nuevas relaciones:

[pic 62]

Estas últimas relaciones son las principales para los experimentos a realizar. La Figura 6 muestra el cómo deben observarse ondas estacionarias fijas por la derecha y con un oscilador por la izquierda.

[pic 63]

[pic 64]

[pic 65]

Figura 6. Ondas estacionarias en una cuerda de largo L conectada a un oscilador de frecuencia [pic 66] y sometida a una cierta tensión T.

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