Metrologia, problemario.

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EJEMPLO 1.5-1 Una empresa que manufactura artículos electrodomésticos ha adquirido dos nuevas líneas de producción, donde es posible ensamblar televisores, radios y videoreproductoras. La secuenciación de operaciones sólo hace posible hacer 30 ensambles diarios en la línea A y 25 ensambles diarios en la línea B. Se trabaja en dos turnos de ocho horas. Ensamblar un televisor en la línea A lleva 20 minutos, mientras que en la línea B lleva 30 minutos; en ambas líneas ensamblar un radio consume 10 minutos y una videoreproductora 30 minutos. La venta de los televisores reporta una utilidad de $40, los radios $15 y las videoreproductoras $30. Determinar la cantidad a producir de cada artículo de tal manera que se incrementen al máximo las utilidades y que se produzcan al menos 15 televisores y 20 videoreproductoras. Modelar el problema.

SOLUCIÓN AL EJEMPLO 1.5-1

PASO 1: Definir variables.

Sea X1 la cantidad de televisores a producir.

Sea X2 la cantidad de radios a producir.

Sea X3 la cantidad de videoreproductoras a producir.

PASO 2: Indicar la función objetivo. Dado que el objetivo del problema es maximizar utilidades, considerando la utilidad que genera la venta de cada artículo, la función objetivo es la siguiente:

Maximizar X0 =40X1 +15X2 +30X3 (utilidades)

PASO 3: Obtención de restricciones.

Capacidad de ensamble de la línea A: X1 + X2 + X3 ≤ 30 (ensambles)

Capacidad de ensamble de la línea B: X1 + X2 + X3 ≤ 25 (ensambles)

Capacidad en minutos de la línea A: 20X1 +10X2 +30X3 ≤ 960 (minutos)

Capacidad en minutos de la línea B: 30X1 +10X2 +30X3 ≤ 960 (minutos)

Cantidad de televisores a producir: X1 ≥ 15 (televisores)

Cantidad de videoreproductoras a producir: X3 ≥ 20 (videoreproductoras)

Condición de no negatividad: X1, X2, X3 ≥0

PASO 4: Escribir el modelo matemático completo.

Maximizar X0 =40X1 +15X2 +30X3

Sujeta a: X1 + X2 + X3 ≤ 30

X1 + X2 + X3 ≤ 25

20X1 +10X2 +30X3 ≤ 960

30X1 +10X2 +30X3 ≤ 960

X1 ≥ 15

X3 ≥ 20

X1, X2, X3 ≥0

EJEMPLO 1.7-2 MEZCLA DE ALIMENTOS

Una lata de 16 onzas de alimento para perros debe contener proteínas, carbohidratos y grasas en las siguientes cantidades mínimas: proteínas, 3 onzas; carbohidratos, 5 onzas; grasas, 4 onzas. Se van a mezclar cuatro tipos de alimento en diferentes proporciones para producir una lata de alimento para perro que satisfaga los requerimientos. Los contenidos y precios de 16 onzas de cada alimento se dan a continuación:

CONTENIDOS Y PRECIOS POR 16 ONZAS DE ALIMENTO

ALIMENTO Proteínas (oz) Carbohidratos (oz) Grasas (oz) PRECIO

1 3 7 5 $4

2 5 4 6 $6

3 2 2 6 $3

4 3 8 2 $2

Se quiere determinar la proporción de cada alimento para llenar una lata de 16 onzas al menor costo posible y cubriendo los requerimientos de proteínas, grasas y carbohidratos.

PASO 1: Definir variables.

Sea Xi la proporción de alimento i para una lata de 16 onzas de alimento para perro. Con i=1,2,3,4.

PASO 2: Indicar la función objetivo, que es minimizar costos.

Minimizar X0 =4X1 +6X2 +3X3 +2X4 (costos)

PASO 3: Obtención de restricciones.

Contenido de proteínas: 3X1 +5X2 +2X3 +3X4 ≥ 3 (onzas)

Contenido de carbohidratos: 7X1 +4X2 +2X3 +8X4 ≥ 5 (onzas)

Contenido de grasas: 5X1 +6X2 +6X3 +2X4 ≥ 4 (onzas)

Total de alimentos para una lata: X1 + X2 + X3 + X4 = 1 (1 lata de 16 onzas)

Condición de no negatividad: X1, X2, X3, X4 ≥0

PASO 4: El modelo matemático es:

Minimizar X0 =4X1 +6X2 +3X3 +2X4

Sujeta a: 3X1 +5X2 +2X3 +3X4 ≥ 3

7X1 +4X2 +2X3 +8X4 ≥ 5

5X1 +6X2 +6X3 +2X4 ≥ 4

X1 + X2 + X3 + X4 = 1

X1, X2, X3, X4 ≥0

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EJEMPLO 1.7-4 ADMINISTRACIÓN DE INVERSIONES

Un gerente de Finanzas tiene $1,000,000 de un fondo de pensiones, parte del cual debe invertirse. El gerente tiene dos inversiones en mente, unos bonos conservadores que producen un 6% anual y unos bonos hipotecarios más efectivo que producen un 10% anual. De acuerdo con las regulaciones del gobierno, no más del 25% de la cantidad invertida puede estar en estos dos tipos de bonos. Más aún, lo mínimo que puede ponerse en bonos hipotecarios es de $100,000. Determine las cantidades de la dos inversiones que maximizarán la inversión total.

PASO 1: DEFINIR VARIABLES.

Sea X1 la cantidad de la inversión en bonos conservadores.

Sea X2 la cantidad de la inversión en bonos hipotecarios.

PASO 2: INDICAR LA FUNCIÓN OBJETIVO.

Maximizar Z =[pic 1] (utilidad)

PASO 3: OBTENCIÓN DE RESTRICCIONES.