OBSERVADORES EN MODO DESLIZANTE.

...

El diseño de observadores de orden reducido se basa en la transformación de coordenadas

x′ = x1 + L1y (6.1.7)

y el comportamiento del sistema se considera en el espacio (x′, y). Obviamente, la transformación de coordenadas para cualquierL1 es no singular.

La ecuación con respecto a x′ se obtiene de (6.1.5) hasta (6.1.7):

-

x′ = (A11 + L1 A21)x′+ A12′ y + (B1 + L1B2 )u A12′ = A12 + L1A22 − (A11 + L1A21)L1

El observador se diseña en la forma de un sistema dinámico de orden (n − l)

xˆ•′ = (A11 + L1 A21)xˆ′ + A12 ′y + (B1 + L1B2 )u (6.1.8)

Siendo xˆ′ como un estimado del vector de estado x′, la diferencia x′ = xˆ′− x′esta regida por la ecuación:

-

x′ = (A11 + L1 A21)x′ (6.1.9)

Si el sistema original es observable, la matriz de valores característicos

A11 + L1A21 puede ser asignada arbitrariamente (Kwakernaak and Sivan, 1972). Esto significa que x′ tiende a cero y xˆ′tiende a x′ para cualquier razón deseada. Las componentes del vector de estado x1, y x2, se encuentran en (6.1.5) y (6.1.7).

6.2 Observadores para sistemas lineales e invariantes con el tiempo

A continuación se procede con el diseño de observadores de estado con funciones discontinuas como entradas de diferencias donde el movimiento precede a los modos deslizantes puede ser manejada en la intersección de la superficie discontinua. El observador es descrito mediante las ecuaciones diferenciales:

-

xˆ1 = A11xˆ1 + A12 yˆ + L1v

-

yˆ = A21xˆ1 + A22 yˆ + B2u − v (6.2.1)

donde xˆ1 e yˆ son los valores estimados del sistema,

v = Msign(yˆ − y) M > 0, M = constante

Si el vector “y” esta disponible para su medición, e s posible obtener el valor de yˆ −y .

El vector de función discontinua v ∈ ℜl se selecciona con el propósito de que los modos deslizantes obliguen a que el vector de diferencia y=yˆ −y tienda a cero. La matriz L1 debe seleccionarse a fin de que la diferencia x1 = xˆ1 −x1 tienda a cero con una velocidad específica. Las ecuaciones para x1 y y se obtienen de las ecuaciones (6.1.6) y (6.2.1):

-

x1 = A11x1 + A12 y + L1v

y = A21x1 + A22y −v

v = Msign (y) (6.2.2)

Como se mostró en la sección 2.4, los modos deslizantes obligan a la ecuación de diferencia a reducirse a cero (y = 0) si la matriz multiplicadora v en la segunda ecuación de (6.2.2) es definida negativa y M toma valores finitos pero muy grandes. Este es el caso, debido a que v es multiplicada por una matriz identidad negativa. Es posible que los modos deslizantes obliguen a la ecuación diferencia y = 0tienda a cero siempre y cuando las condiciones iniciales esten acotadas. Recordando los

- métodos de control equivalente para obtener veq y resolver la ecuación y = 0 es necesario primeramente sustituir con y = 0 en la ecuación (6.2.2) para derivar la ecuación en modos deslizantes:

veq = A21 x1

-

x1 = (A11 +L1 A21)x1 (6.2.3)

Lo cual coincida con la expresión (6.1.9). Seleccionando apropiadamente el valor de L es posible la convergencia de las variables x1 →0 y xˆ1 → x1 y posteriormente es posible obtener x2 mediante la expresión (6.1.5).

El observador en modos deslizantes con una función discontinua como entrada

(6.2.2) es equivalente a un observador de orden reducido (6.1.8). Sin embargo, si una señal de ruido afecta tanto a la planta como al observador, es preferible un obse rvador no lineal debido a sus propiedades de filtrado, que coinciden en su forma de operar con los filtros de Kalman (Drakunov, 1983).

6.3 Observadores para sistemas lineales variantes en el tiempo

6.3.1 Esquema del observador

Para los sistemas variantes en el tiempo:

•

- = A(t)x + B(t)u (6.3.1)

- = C(t)x (6.3.2)

donde x∈ℜn , u∈ℜm e y∈ℜ l , siendo el vector de salida y(t) y las matrices

A(t),B(t) y C(t)conocidas. Se pretende diseñar un observador que estime al vector de estado x(t) .

Para cualquier transformación no sinusoidal del estado x en (yT0 , x1T ), y0 ∈ℜl0 , x1 ∈ℜn−l0 , la ecuación (6.3.1) esta representada mediante:

•

y[pic 3] B0(t)u (6.3.3)

•

- [pic 4] B[pic 5]u (6.3.4)

El sistema en (6.3.3), (6.3.4) para un vector y0 conocido se conoce como modelo Bloque-Observador. Los índices y superíndices en (6.3.3), (6.3.4) denotan los bloques matriciales. El sistema (6.3.3), (6.3.4) puede ser representado en modo BloqueObservador si el rango de l0 y la posición del menor principal de la matriz C(t) no varia con el tiempo. En este paso, después de ordenar los vectores x e y , existe una matriz Λ 0 (t) tamaño (l − l0 ) ×l0 tal que:

C0(t)

C(t) =Λ0(t)C0(t) (rangoC0 (t) = l0 )

- la matriz C0 de tamaño l0 ×n es de la forma:

C0 (t) = [Co/ (t) C0// (t)]

Siendo la matriz C0// (t)de tamaño lo ×l0 no singular. El vector y0 se obtiene como:

y[pic 6]

donde