¿Por qué estudiar Trigonometría?

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4 4

d) Para este caso, tenemos que 360° = 2π rad y 60° = π rad/3, así que:

π 6π rad + π rad

420° = 360° + 60° = 2 π rad + ------ rad = ----------------------.

- 3

∴ 420° = 7 π rad/3

Ahora consideremos la conversión de radianes en grados, para esto sabemos que 2π rad = 360°, entonces π rad = 180°.

180°

1 rad = --------- = 57° 17' 45"

π

Ejercicio 2. Expresar en grados ( ° ) cada uno de los siguientes ángulos: a) π rad /12; b) - π rad / 2; c) 2 π rad / 3; d) 6 π rad.

Solución:

a) Tenemos que 1 rad = 180°/π; si multiplicamos ambos miembros de esta igualdad por π rad /12 nos queda:

180°

1 rad = --------- ; multiplicando ambos miembros de por π / 12.

π

π π 180° 180°

------ ( 1 rad ) = ------- ( --------- ) = -------- = 15°. ∴ π rad / 12 = 15°

12 12 π 12

b) Para este caso, procedemos como en el inciso anterior, así que:

180°

1 rad = ---------

π

π π 180° 180°

- ------ ( 1 rad ) = - ------- ( -------- ) = - -------- = - 90°. ∴ -π rad / 2 = - 90°.

2 2 π 2

c) De igual manera, aquí tenemos que:

180°

1 rad = ---------

π

2 2 180° 2 x 180°

------ π ( 1 rad ) = ----- π ( -------- ) = --------------- = 120°

3 3 π 3

∴ 2π rad / 3 = 120°.

d) En este caso, procederemos de la siguiente manera:

6 π rad = 3 ( 2 π rad ) = 3 ( 360° ) = 1 080°

Por lo tanto, 6 π rad = 1 080°.

3.7 Longitud de arco

Existe una relación útil entre un ángulo θ expresados en radianes, el radio r de una circunferencia y la longitud del arco s, lo que se puede expresa:

Longitud del arco = radio x ángulo central en radianes

s = r x⋅θ, despejando θ, se obtiene: θ = s / r.

3.8 Ejercicios resueltos

Ejercicio 3. Expresa los siguientes ángulos en radianes

a) 20° b) 15° c) 70°

d) 135° e) 990° f) -720°

g) - 120° h) 45.6° i) 100.28°

j) 142° 43.2' k) 205° 35' 4" l) 125°23'19"

Ejercicio 4 Expresa los siguientes ángulos en grados

4 π 5 π 11 π

a) ------- rad b) -------- rad c) --------- rad

3 6 2

7 π 5 π 11 π

d) ------- rad e) --------- rad f) ---------- rad

5 6 6

15 π 51 π π + 1

g) ---------- rad h) --------- rad i) -------- rad

8 19 6

3 π + 2 π - 1 3 π - 4

j) ------------ rad k) --------- rad l) ---------- rad

5 5 7

4. Tipos de ángulos

Una vez que hemos definido lo que es un ángulo y que se ha discutido en que unidades se mide; el siguiente paso es recordar los ángulos más comunes que encontraremos en nuestros cursos.

4.1 Ángulos Adyacentes

[pic 9]

Decimos que los ángulos α y β son ángulos adyacentes, si tienen el mismo vértice y un lado común.

4.2 Ángulo Recto

[pic 10]

Decimos que un ángulo es recto, si mide 90° o π/2 radianes.

4.3 Ángulo Agudo

[pic 11]

Decimos que un ángulo es agudo, si tiene una magnitud menor de 90°.

4.4 Ángulo Obtuso

Decimos que un ángulo es obtuso, si tiene una magnitud mayor que 90°.[pic 12]

4.5 Ángulos Complementarios

Decimos que los ángulos α y β son complementarios, si su suma es igual a 90°, es decir α+ β = 90°.[pic 13]

4.6 Ángulos Suplementarios

Decimos que los ángulos suplementarios, si su suma es igual a 180°, es decir α+ β = 180°.[pic 14]

4.7 Ángulos Conjugados

Decimos que los ángulos α y β son conjugados, si su suma es igual a 360°, es decir α+ β = 360°.[pic 15]

4.8 Ángulos Opuestos por el vértice

[pic 16]

Decimos que los ángulos α y θ, así como β y δ son ángulos opuestos por el vértice, además