Probabiliddad de evento

...

Espacio muestral: {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

El espacio muestral consiste en todos los resultados para los cuales el primero tiro no fue 6, y el segundo tiro fue 6. Para el primer lanzamiento existían 5 resultados posibles que no son 6. Para cada uno de ellos, existía sólo un posible resultado que era 6. Entonces hay 5 • 1 o 5 resultados en el espacio de eventos:

Espacio de eventos: {(1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6)}

Nota que el tamaño del espacio muestral para ambos lanzamientos es el producto del tamaño del espacio muestral para cada lanzamiento. De manera similar, el tamaño del espacio de eventos par dos lanzamientos es el producto del tamaño de los espacios de eventos de cada lanzamiento.

Veamos el escenario 2:

Sacas una canica de una bolsa que contiene 2 canicas rojas, 2 blancas, y una verde. Anotas el color, regresas la canica a la bolsa, y sacas otra canica. ¿Cuál es la probabilidad de sacar canica roja ambas veces?

Para ayudarnos a recordar que hay dos canicas rojas, las nombraremos R1 y R2. Haremos lo mismo con las canicas blancas, W1 y W2.

Primera sacada

R1

R2

W1

W2

G

Segunda sacada

R1

R1,R1

R2,R1

W1,R1

W2,R1

G,R1

R2

R1,R2

R2,R2

W1,R2

W2,R2

G,R2

W1

R1,W1

R2,W1

W1,W1

W2,W1

G,W1

W2

R1,W2

R2,W2

W1,W2

W2,W2

G,W2

G

R1,G

R2,G

W1,G

W2,G

G,G

El espacio muestral para la primera sacada tiene 5 resultados, {rojo, rojo, blanco, blanco, verde}. Como la primera canica es devuelta a la bolsa, le espacio muestral para la segunda sacada es el mismo. Por cada opción de la primera sacada, hay 5 opciones para la segunda, Existen 5 • 5 o 25 resultados posibles:

Espacio muestral: {(R1,R1), (R1,R2), (R1,W1), (R1,W2), (R1,G), (R2,R1), (R2,R2), (R2,W1), (R2,W2), (R2,G), (W1,R1), (W1,R2), (W1,W1), (W1,W2), (W1,G), (W2,R1), (W2,R2), (W2,W1), (W2,W2), (W2,G), (G,R1), (G,R2), (G,W1), (G,W2), (G,G)}

El espacio de eventos para la primera sacada consiste en las dos canicas rojas. Para cada una de ellas, hay dos canicas rojas que pueden escoger en la segunda sacada. Existen 2 • 2 o 4 resultados en el espacio de eventos:

Espacio de eventos: {(R1,R1), (R1,R2), (R2,R1), (R2,R2)}

De nuevo, nota que el tamaño del espacio muestral para las dos sacadas es el producto del tamaño de los espacios muestrales de cada sacada. De manera similar, le tamaño del espacio de eventos para las sacadas combinadas es igual al producto del tamaño de los espacios de eventos de cada sacada.

Ahora, veamos las probabilidades para las tres situaciones, usando la razón del tamaño del espacio de eventos con el tamaño del espacio muestral:

Situación

Probabilidad del primer evento

Probabilidad del segundo evento

Probabilidad de ambos eventos

Lanzar dados

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

Sacar canicas

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

Una permutación de objetos es un arreglo de éstos en el que orden sí importa. Para encontrar el número de permutaciones de n objetos diferentes en grupos de r, se usan las siguientes fórmulas:

[pic 16]

Cuando no se permite repetición

[pic 17]

Cuando se permita repetición

Una combinación de objetos es un arreglo de éstos en el que el orden no importa. Para encontrar el número de combinaciones de n objetos en grupos de r, se usa la siguiente fórmula:

[pic 18]

EJEMPLOS:

A) ¿Cuántas cantidades de tres cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4 si no se permite la repetición? Solución:

[pic 19].

B) ¿Cuántas cantidades de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4 si se permite la repetición? Solución:

[pic 20].

C) De entre 8 personas debemos formar un comité de cinco miembros. ¿Cuántas diferentes posibilidades existen para formar el comité? Solución: Esta es una combinación porque el orden