Problemas Sesion 2.
Enviado por Ensa05 • 17 de Octubre de 2017 • 2.052 Palabras (9 Páginas) • 449 Visitas
...
N ' = rN 1 −− H0,
k rN2
= rN −− H0.
k
---------------------------------------------------------------
Igualamos a cero para obtener el punto de equilibrio
N
rN 1 −− H0 = 0,
k k
N2 − kN + H0 = 0.
r
4kH0k ±k2 − r
⇒ N =
2
⎛ ⎞
4H0
k ⎝
[pic 1]1 ±1 −
[pic 2]⎠
rk
=
2
⎛ ⎞
k 4H0
=
[pic 3]1 −
[pic 4]
⎝1 ±⎠
2 rk Para determinar cu‡l de los dos puntos es el estable observemos el signo de la derivada, la derivada es f ' (N) = r − 2rN .
k
Al sustituir N con el radical positivo, tenemos
⎛
⎞
f ' ⎛
[pic 5]⎝ k 2 ⎛
[pic 6]⎝1 + 1 − 4H0 rk ⎞
[pic 7]⎠ ⎞
[pic 8]⎠
=
r − 2r k 2
[pic 9]⎝1 +
1 − 4H0 rk
[pic 10]⎠ k ,
⎛
⎞
=
r − r
[pic 11]⎝1 +
1 − 4H0 rk
[pic 12]⎠,
⎛
⎞
=
−r
[pic 13]⎝
1 − 4H0 rk
[pic 14]⎠.
As’, tenemos que Žste es el punto de equilibrio estable, ya que al tomar el radical negativo obtenemos una
rk
derivada con signo positivo. Ahora, si H0 se aproxima a veamos quŽ pasa en el punto de equilibrio
4
rk
estable; cuando H0 → tenemos que
4
⎛ ⎞
4H0
N = −r
[pic 15]1 −
[pic 16]
⎝⎠
rk
kN =
2
Entonces
N
N ' = rN 1 −− H0,
k rk 1
= 1 −− H0
22
rk
= − H0.
4
---------------------------------------------------------------
rk
Por lo tanto, la poblaci—n tiende a la extinci—n cuando H0 → .
4
3. [Analítico y Modelado]. Asuma que el sistema
N1
N1 ' = r1N11 − K1 − λ1 N1N2 − CN1, (3)
N2
N2 ' = r2N21 − K2 − λ2 N1N2, (4)
es un modelo aceptable de dos especies de peces en competencia, en el cual la especie 1 esta sujeta a explotaci—n. Para ciertos valores de los par‡metros, hemos visto que, para C = 0 (cuando no hay ex plotaci—n), este sistema tiene un punto de equilibrio inestable para valores distintos de cero de ambas poblaciones. En este caso particular, ÀquŽ pasa cuando la tasa de captura C se incrementa?
Solución.
Veamos cuando C = 0; definimos lo siguiente para reescribir el sistema
√ r1 N1 N2 λ1K2 λ2K1
τ = r1r2t,ρ = , n1 = , n2 = ,α1 = √ ,α2 = √ , r2 K1 K2 r1r2 r1r2
luego el sistema queda
dn1
= ρn1(1 − n1) − α1n1n2,
dτ
dn21
= n2(1 − n2) − α2n1n2,
dτρ
Para determinar bajo quŽ condiciones las dos especies puedes coexistir, las rectas
1
ρ(1 − n1) − α1n2 = 0, (1 − n2) − α2n1 = 0,
ρ
...