Problemas Sesion 7

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2. [Analítico]. Si (xj), 1 ≤ j ≤ n, es una sucesión de valores observados de una variable aleatoria X, para limitar riesgo, uno está interesado en encontrar las distribuciones de probabilidad de los valores mínimos y máximos, o sus records.

Considere una sucesión de n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (Xj), 1 ≤ j ≤ n; conociendo la función de distribución acumulada F(X) de esas variables aleatorias, determine las funciones de distribución acumuladas F(Yn)y F(Zn) de las variables aleatorias Yn = m´ın(X1, X2,..., Xn)y Zn = m´ax(X1, X2,..., Xn).

Solución.

Para F(Zn), debido a que las variables son i.i.d. es fácil conocer la función de distribución acu mulada del máximo que es la probabilidad de que todas las observaciones sean menores que z, entonces nos queda

F(Zn) = [F(X)]2 .

Por otro lado, para F(Yn) tenemos que F(Yn) = P(Y ≤ y) = P(m´ın(X1,..., Xn) ≤ y) lo que implica que al menos un Xi sea menor que y. Esta probabilidad es equivalente a 1 menos la probabilidad de

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que todos los Xi sean mayores que y; como tenemos que los Xi son i.i.d. entonces, la probabilidad de que todos sean mayores que y es

P(Xi ≥ y) = [1 − F(y)]n . Luego la función de distribución de Yn es

F(Yn) = 1 − [1 − F(X)]n .

Asumiendo que las n variables aleatorias independientes tienen una función de densidad de proba bilidad Cauchy común centrada en el origen con parámetro unitario, encuentre el límite

nz

l´ım PZn >.

n→∞ π

Solución.

La distribución de Cauchy tiene función de densidad de probabilidad

1

f (x;0, 1) = ,

π(1 + x2)

luego, su función de distribución acumulativa es

1 nz 1

arctan+ .

ππ2

Queremos calcular el límite cuando n →∞ de

P Zn > nz π

= = = =

P m´ax(X1, . . . , Xn) > nz π 1 − P m´ax(X1, . . . , Xn) ≤ nz π 1 − P Xi ≤ nz π n 1 − F nz n

π

=

1 −

1 π arctan nz π + 1 2

n

entonces tenemos

n

nz 1 nz 1

l´ım PZn > = l´ım 1 − arctan+

n→∞πn→∞ ππ2 n

arctan(π/nz) = 1 − l´ım 1 −

n→∞ π n

1 −1)

= 1 − l´ım 1 − + o(n

n→∞ zn −1/z

= 1 − e.

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3. [Simulación/Numérico]. Muestre que una distribución de ley de potencia con exponente de corte de la forma x−α(1 − E)x, donde E es un número positivo pequeño, puede ser confundida con una distribución de ley de potencia pura.

Solución.

Para esto daremos un valor pequeño a epsilon, E = 0,05 y tomaremos un exponente α = 1,5, haremos una gráfica log − log para mostrar que el comportamiento de esta distribucón se aleja del de una ley de potencia. El código es el siguiente

% Problema 3

close all ; clc ; clear

a= 3; alpha = 1.5; % Ley de potencias real tp = @(x) x.^( − alpha );

xx = logspace (0 ,1.5);

power= tp (xx ); beta = alpha ; epsil = 0.05; epsil1 = logspace ( −3.5 , −1 ,5); % Ley de potencia falsa

fp = @(y) (y.^( − beta )). ∗ (1 − epsil ).^y;