Problemas Sesion 3.

...

11

+= 1.

ab

4. [Simulación&Numérico]. Grafique el atractor y su secci—n PoincarŽ para el atractor Lorenz, donde el sistema de Lorenz esta dado por

'

x= a(y − x),

'

y= bx − y − xz,

'

z= xy − cz.

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De esta forma, se puede probar que la dimensi—n del atractor es mayor que 2 (no es una variedad bidi 8

mensional). Los par‡metros —ptimos son a = 10, b = 28 y c = . TambiŽn se puede comprobar c—mo

3

luce el atractor cuando variamos b.

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Solución.

Para graficar el atractor de Lorenz y su secci—n PoincarŽ definimos primero el sistema de Lorenz

function xdot=anxo34b(t ,x) a = 10; c = 8 / 3; b = 28;

% Sistema de Lorenz

xdot =[−a ∗(x(1) − x(2)); b∗x(1) − x(2) − x(1) ∗ x(3); −c ∗x(3) + x(1) ∗ x(2)];

end

Y lo usamos para encontrar y graficar el atractor y la secci—n PoncarŽ mediante el siguiente c—digo

function anxo34

close all ;

ti = 0; tf = 150; tspan =[ti tf ]; x0 = [ −0.3 −0.3 25] ’; [t ,x]= ode23 (’anxo34b’,tspan ,x0); size (x,1)

Poin1u= []; Poin2u= []; Poin1d= []; Poin2d= []; for ii = 2: size (x,1)

% Elegimos el plano de cruce para la seccion Poincare

plane = 20;

if (x( ii −1 ,3) = plane ) P1= x( ii ,1) ∗ plane / x(ii ,3); P2= x( ii ,2) ∗ plane / x(ii ,3); Poin1u= [ Poin1u P1 ] ; Poin2u= [ Poin2u P2 ] ;

elseif (x(ii −1 ,3) > plane && x( ii ,3)

end end

figure plot3 (x(:,1),x(:,2),x(:,3)), grid on; xlabel ( ’x1’); ylabel ( ’x2’); zlabel (’x3’) title (’LorenzL AttractorL b=41’ );

figure plot (x(:,1),x(:,2)), grid on;

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xlabel ( ’x1’); ylabel ( ’x2’); title (’Lorenz L Attractor L b=41’ );

figure plot (Poin1u,Poin2u,’o’,Poin1d,Poin2d,’x’), grid on; xlabel ( ’x1’); ylabel ( ’x2’); title (’Poincare L section L b = 41, L plane L x3=L 20’ );

legend ( ’upward’ ,’downward’ ,3)

end

Las gr‡ficas a continuaci—n muestran lo que ocurre al variar el valor del par‡metro b. Para b = 28

[pic 11]

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[pic 12]

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Para b = 15

[pic 13]

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[pic 14]

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Para b = 41

[pic