Problemas Sesion 8

...

ZN == ,

1 − Ga 1 − Ge−βE −λN + λN

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= .

1 − Ge−βE

Esta representaci—n muestra la estructura general de los resultados de la matriz de transferencia, es decir, la funci—n de partici—n se expresa como una combinaci—n lineal de los autovalores de la matriz de transferencia. En el l’mite termodin‡mico s—lo permanece la contribuci—n del autovalor m‡s grande y se tiene, cuando N →∞, que la energ’a libre esta dada por

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f ≡ F≡− ln ZN = − ln m«

ax(λ1,λ2).

N βN β

Para que exista una transici—n de fase necesitamos que los dos autovalores se crucen en algœn cierto βc. Tenemos simplemente que comparar λ1 y λ2 para encontrar que se cruzan a una temperatura dada por βc = ln G/E, o de manera equivalente, Tc = kBE/ ln G. En este punto la derivad de la energ’a libre es discontinua, lo que implica que existe una transici—n de fase de segundo orden. Notemos que Tc = kBE/ ln G es finito siempre que G > 1; para el caso no-degenerado (G = 1) la transici—n de fase ocurre en T = ∞, o en otras palabras, no existe transici—n de fase. Aqu’ se representa gr‡ficamente el mayor autovalor contra β, es decir, el inverso de la temperatura.

[pic 13]

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6. [Simulación]. Considere un modelo 1D Ising con N spins y terminales libres. Lleve a cabo una simula ci—n de Monte Carlo del sistema de spins usando el algoritmo Metropolis (escoga el nœmero de spins de acuerdo a los recursos computacionales). Calcule la energ’a promedio y la capacidad de calor a la tem

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peratura T = usando la f—rmula de fluctuaci—n y una diferenciaci—n numŽrica de la energ’a. Compare kB

con los resultados exactos si es posible.

Solución

Para obtener la energ’a promedio y la capacidad de calor mediante la simulaci—n Monte Carlo usando la f—rmula de fluctuaci—n implementamos el siguiente c—digo

function [fE_av , fCv] = anxo8(L,H,N _iter ,grafica)

%L= umero de nodos . %H= Campo magnetico externo . %J= Energia de interaccion nodo −nodo . %T= Temperature % N _iter = Numero de iteraciones .

k_B= 1.3806505e −23;

close all

J = 0.1; T= 2∗ J / k_B ;

output _count = 0; beta = 1 / (2 ∗ J); step = L^2; N_iter = N_iter ∗ step ; E_iter = zeros (N _iter ,1); % Energia en cada iteracion . EH0= 0; E_av= 0; E2_av= 0;

% Se crea una matriz de LxL que contiene spins aleatorios .

Spin= −ones (L , 1 ) ; for ii = 1:L EH0= EH0+ Spin( ii ) ∗ neighbours(Spin,ii ,1);

end sum_spin= sum (sum (Spin )); E= −sum_spin ∗H − J ∗EH0 / 2; F_iter = 0;

%%%%%%%% MonteCarlo %%%%%%%%

for nn = 1: N _iter x_rand= ceil (L∗ rand (1)); % Escoge un nodo al azar . Spin( x _rand)= −1∗ Spin ( x_rand ) ; dE _int = 2∗ Spin ( x_rand ) ∗ neighbours(Spin,x_rand ,1); dss= Spin ( x_rand ) ∗ 2; deltaU = −J ∗ dE _int − dss ∗H;

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% Condiciones para cambiar de estado .

if deltaU

elseif log (rand (1)) beta ∗ deltaU ) E= E+ deltaU ; sum_spin= sum_spin + dss ;

else

Spin ( x _rand )= −1∗ Spin(x _rand ); % Sin cambio .

end

E_iter (nn)=E / L; % Almacena el valor E actual en cada iteracion .

% Calcula los valores promedio . if (nn>= 100∗ step ) % Se necesitan al menos 100 iteraciones .

output _count = output _count + 1;

E_av= E_av+ E;

E2_av= E2_av + E^2; E_avV( output _count)= E; E2_avV( output _count)= E^2;

end end

% Resultado de Energia promedio y Capacidad de Calor .

finE _av = E_av / ( output _count ∗L) Cv= ( beta ^2) ∗ ((E2av / output count ) − (Eav / output count ).^2) / L

_

_

_

_

h i s t ( E_avV / L , 1 5 )

% Muestra

l a

d i s t r i b u c i o n

de

l a

e n e r g i a

prom edio .

end

En el histograma de muestra la distribución de la energía de las partículas, cuyo valor medio se encuentra en -0.046, mientras que la capacidad de calor nos da un valor de 0.199.

Para 10000 iteraciones.

[pic 14]

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Para 2500 iteraciones.

Para 500 iteraciones.

[pic 15]

[pic 16]

倀愀爀愀 㔀 椀琀攀爀愀挀椀漀渀攀猀⸀