Sistemas de comuinicaciones

...

[pic 46]

Aplicando la definición de PSD en ambos lados de la igualdad se tiene

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Podemos calcular potencia teniendo la densidad espectral de potencia integrando respecto a la frecuencia. Si hacemos eso en ambos lados de la igualdad se tiene

[pic 48]

Notar que la suma de da como resultado 1 [w], que es la potencia de la señal [pic 49][pic 50]

Por lo tanto, la relación que existe entre la potencia de una señal con respecto a sus componentes real e imaginaria es que la potencia de la señal es el aporte de potencia que hace su parte real sumado con el aporte de potencia que hace su parte imaginaria.

- Si una señal tal que , multiplica a Grafique el espectro de e indique el ancho de banda mínimo de un canal que soporte esta señal modulada.[pic 51][pic 52][pic 53][pic 54]

Notamos que la señal portadora es la que tiene mayor frecuencia, es decir, es la señal portadora ya que tiene el doble de la frecuencia que la señal [pic 55][pic 56]

2.2. Problema 2

Un PA, del tipo ruido blanco Gaussiano, con media cero y una PSD igual a P(f) = N0/2 (tal que

N0 es constante), pasa a través de un filtro pasa-bajo ideal, con ancho de banda igual a B.

Encuentre la autocorrelación de la señal de salida.

Lo primero que se debe notar es la relación que existe entre la PSD y la autocorrelación.

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Por lo tanto, la autocorrelación de la señal de salida es

[pic 58]

2.3. Problema 3

Demostrar que la potencia AC () de una señal de voltaje V es: [pic 59][pic 60]

Matemáticamente:

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[pic 62]

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2.4. Problema 4

Demuestre, usando análisis espectral que si una señal de frecuencia fundamental es muestreada con una frecuencia tal que , entonces la señal no puede ser fielmente reconstruida a partir de sus muestras (Teorema de muestreo de Nyquist). Defina el problema de Aliasing.[pic 66][pic 67][pic 68]

La señal x(t) (monocromática) de frecuencia fundamental , se multiplica con un tren de impulsos de frecuencia (frecuencia de muestreo), para obtener la señal muestreada. Matemáticamente:[pic 69][pic 70]

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Donde . Luego se calcula el espectro de :[pic 72][pic 73]

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Como en el plano del tiempo ambas señales se multiplican, en el plano de frecuencia corresponde utilizar la convolución. Por propiedades de la función impulso y la convolución obtenemos que el espectro de la señal muestreada es:

[pic 75]

Se puede notar que el espectro resultante corresponde al espectro de la señal original X(f) atenuado en , más réplicas de este en . Las réplicas estarán entre y . Se debe recordar que el espectro de una señal es único, es decir, si dos señales tienen el mismo espectro, estas serán iguales en el plano del tiempo. [pic 76][pic 77][pic 78][pic 79]

Dicho esto, si es tal que en el punto donde termina el espectro original, comienza la siguiente réplica se tiene que (para n = 1):[pic 80]

[pic 81]

Si las réplicas empiezan a solaparse unas con otras y el espectro original se modifica, haciendo imposible la recuperación de la señal original. Este problema es conocido como Aliasing. En conclusión, para poder recuperar la señal original se debe muestrear con una frecuencia dada por >. Cuando = existe la posibilidad de no recuperar la señal original, es por esto que la desigualdad es estricta.[pic 82][pic 83][pic 84][pic 85][pic 86][pic 87]

2.5 Problema 5

Observe el espectro ideal de la Fig.1 (f en Hz).[pic 88]

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Figura 1. “Espectro de ”[pic 90]

- Escriba la ecuación de la función en el plano del tiempo.[pic 91]

El espectro de la figura corresponde a la suma de 3 componentes en el plano del tiempo, la constante 2 con f = 0, un coseno con f = 50 [Hz] y otro con f = 100 [Hz] ambos de amplitud 2, es decir:

[pic 92]

- Indique el ancho de banda de esta señal e indique la frecuencia mínima a la que esta debe ser muestreada, según el Teorema de Nyquist, para que ésta pueda ser perfectamente reconstruida.[pic 93]

El ancho de banda (BW) de la señal x(t) corresponde a la mayor frecuencia presente, por lo que BW = 100 [Hz]. La frecuencia de muestreo para que la señal pueda ser reconstruida perfectamente debe ser . Así cualquier frecuencia de muestreo mayor a 200 [Hz] sirve para luego recuperar la señal original.[pic 94]

- Haga un bosquejo de la señal en el plano del tiempo, considerando solo las señales de armónicos en y [pic 95][pic 96]

A continuación se muestra el gráfico pedido, considerando sólo los armónicos en f=0[Hz] y en f = 100 [Hz] [pic 97]

Figura XX. [pic 98]

En la figura se puede apreciar que el armónico en f = 0 corresponde a un offset que centra la señal coseno en 2. Además la señal varía entre 0 y 4, pues la amplitud es 2. Se muestran 6 periodos en un tiempo de 0.06 [s], por lo que la frecuencia del coseno es , y el periodo es [pic 99][pic 100]

- Indique el ancho de banda de un supuesto canal que permita transmitir la señal ideal.[pic 101]

El ancho de banda deseado de un canal para transportar una señal, se determina como la frecuencia máxima menos la frecuencia mínima presente en la señal y también se indica