WHERE THAT YOU
Enviado por monto2435 • 11 de Agosto de 2018 • 2.110 Palabras (9 Páginas) • 349 Visitas
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Una tercera forma de aproximar la primera derivada es restar la ecuación 4 de la expansión en serie de Taylor hacia adelante:
[pic 44]
Para obtener:
[pic 45]
Que se puede resolver para
[pic 46]
O
[pic 47]
La ecuación es una representación de las diferencias centrales (o centradas) de la primera derivada.
Nótese que el error de truncamiento es del orden de en contraste con las diferencias divididas hacia adelante y hacia atrás, las cuales fueron de orden h.
Por lo tanto, el análisis de la serie de Taylor ha llevado a la información practica de que la diferencia central es la representación mas exacta de la derivada.
Por ejemplo, si se parte el tamaño del paso a la mitad usando diferencias hacia atrás o hacia adelante, el error se reducirá aproximadamente a la mitad, mientras que para diferencias centrales, el error se reduce a la cuarta parte.
2.3.- Aproximaciones A Derivadas De Orden Más Alto Usando Diferencias Finitas:
Junta a la primera derivada, la expansión de la serie de Taylor se puede usar para una estimación numérica de las derivadas de orden superior.
Para hacerlo, se escribe una expansión en la serie de Taylor hacia adelante para en términos de de la siguiente forma:
[pic 48]
La ecuación 8 se puede multiplicar por 2 y restarse de la ecuación 10 para obtener:
[pic 49]
Que se puede resolver para
[pic 50]
A esta relación se le llama diferencias divididas finitas hacia adelante de segundo orden. Se pueden usar procedimientos similares para obtener las versiones hacia atrás y centrales.
Las aproximaciones a tercer orden de las diferencias divididas hacia adelante, hacia atrás y centrales también pueden obtenerse (véase en fórmulas mas adelante). En todos los casos, las diferencias centradas dan una mejor aproximación.
Ejemplo:
Úsense aproximaciones de diferencias finitas hacia adelante y hacia atrás de y centradas, para estimular la primera derivada de:
[pic 51]
En x=0.5 usando un tamaño de paso h=0.5. Repetir los cálculos usando h=0.25. Nótese que la derivada se puede calcular directamente como:
[pic 52]
Y se puede usar para calcular el valor exacto de f (0.5)= -0.9125.
Solución:
Para h=0.5, se puede usar la función para determinar:
[pic 53]
Estos datos se pueden usar para calcular la diferencia dividida hacia adelante
[pic 54]
La diferencia dividida hacia atrás
[pic 55]
Y la diferencia dividida central
[pic 56]
Para h=0.25, los datos son:
[pic 57]
Que se pueden usar para calcular la diferencia dividida hacia adelante:
[pic 58]
A diferencia dividida hacia atrás:
[pic 59]
Y la diferencia dividida central:>/P>
[pic 60]
2.4.- Formulas De Exactitud Para Diferencias De Orden Superior:
Todas las estimaciones anteriores truncaron las estimaciones dadas por la serie de Taylor después de algunos términos.
Las fórmulas de mas exactitud se pueden desarrollar incluyendo términos adicionales. Por ejemplo, la expansión hacia adelante se puede resolver para:
[pic 61]
En contraste con la ecuación 2, se puede retener el término de segundo orden sustituyendo la ecuación 12 en la ecuación 13 para obtener:
[pic 62]
Agrupando términos
[pic 63]
Nótese que la inclusión del término con segunda derivada ha dado una exactitud.
Se pueden desarrollar versiones mejoradas similares para diferencias hacia atrás y centrales así como para las aproximaciones de derivadas de orden superior.
B.- Integrales:
1.- Newton Cotes:
Estas fórmulas se basan en la idea de integrar una función polinomial en vez de [pic 64]:
[pic 65]
Donde [pic 66] es un polinomio de interpolación de grado [pic 67] para ciertos datos de [pic 68] que se escogen apropiadamente.
Es importante observar que estas fórmulas se pueden aplicar inclusive a una tabla de datos, ya que lo que se usa es un polinomio de interpolación, el cual puede ser calculado con la tabla.
Dentro de las fórmulas de Newton-Cotes, existen las formas cerradas y abiertas. En las formas cerradas se conocen los valores de [pic 69] y [pic 70]; en caso contrario, se llaman formas abiertas.
Nosotros nos remitiremos a estudiar únicamente las formas cerradas, y por lo tanto, siempre suponemos que conocemos los valores [pic 71] y [pic 72].
2.- Regla Del Trapecio:
La regla del trapecio consiste en representar de forma aproximada a una función f(x) mediante un polinomio de grado uno f1(x), de tal manera que el proceso de integración aproximada de f(x), viene
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