Álgebra de Matrices: Una matriz es un arreglo rectangular de la forma

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[pic 38]

- Inferior

Una matriz triangular inferior es aquella en la que aparecen ceros arriba de la diagonal principal.

[pic 39]

Matriz escalonada

Una matriz tiene la forma escalonada cuando:

- El elemento de la primera fila y primera columna es igual a 1 y aparecen ceros debajo de este.

- El primer elemento distinto de cero de cada fila después del anterior es 1, con ceros debajo de este y aparece a la derecha del 1 anterior.

- Todas las filas que solo contienen ceros aparecen en la parte inferior.

Ejemplo, las siguientes matrices tienen la forma escalonada:

[pic 40] [pic 41] [pic 42]

Método de eliminación de Gauss para sistemas de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas, es un conjunto de ecuaciones de la forma:

[pic 43]

Un sistema como el anterior, se puede resolver usando el método de Gauss, en el cual están permitidas las siguientes operaciones.

Escribiendo primero, la matriz aumentada del sistema, que es la matriz de coeficientes y de términos independientes del sistema, en sus respectivas posiciones donde una recta vertical, separa los coeficientes de la matriz de los términos independientes, esta matriz queda así:

[pic 44]

[pic 45]

Luego se usan las operaciones permitidas, que son las siguientes.

- Cualquier fila (cualquier ecuación) del sistema puede multiplicarse por un escalar diferente de cero y sustituirse en la misma fila.

- La fila j puede multiplicarse por cualquier constante k y sumarse a la fila i, y usar la ecuación resultante en lugar de la ecuación j.

- Las ecuaciones i y j se pueden intercambiar.

El objeto de hacer uso de las operaciones permitidas es dejar un triangulo de ceros en la parte inferior izquierda de la matriz aumentada, para luego hacer sustitución hacia atrás y determinar los valores de todas las incógnitas. Entonces los pasos para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones usando el método de Gauss son los siguientes:

- Escribir la matriz aumentada del sistema.

- Llevar esta matriz a la forma escalonada, usando las operaciones permitidas.

- Realizar sustitución hacia atrás y resolver todas las incógnitas.

Ejemplo: resolver el siguiente sistema usando del método de eliminación de Gauss:

[pic 46]

La solución del sistema es: [pic 47].

Método de eliminación de Gauss Jordan.

Es un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales, muy parecido al de Gauss, pero se diferencia del anterior en que hay que llevar la matriz de coeficientes a forma de una matriz diagonal.

Ejemplo, resolver el siguiente sistema usando el método de Gauss Jordan.

[pic 48]

Solución, x=-2, y=1, z=4

Nota: Las ecuaciones lineales de tres incógnitas, representan planos en el espacio tridimensional, si tenemos que la solución de un sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas es una sola, entonces esa solución representa el punto de intersección de los tres planos.

Determinantes

Podemos asociar un número llamado determinante con una matriz cuadrada A y se denota generalmente: detA ó [pic 49] (esta forma de representar el determinante de A no se debe confundir con la notación de valor absoluto), en el caso de una matriz cuadrada de orden uno, el determinante es simplemente el valor de su única componente.

El determinante de una matriz se puede calcular, multiplicando los elementos de cualquier fila o columna por sus respectivos cofactores y sumando los productos obtenidos, pero en el caso de una matriz de 2 por 2 de puede hacer calculando la diferencia de los productos de las diagonales.

Asi:

Si [pic 50]

Ejemplo:

Si [pic 51]

Propiedades de los determinantes

- Si se tiene una matriz cuadrada A, en la cual todos los elementos de una fila o columna son iguales a cero, entonces el determinante es igual a cero.

- Si dos filas o columnas de una matriz son idénticos, entonces el determinante es igual a cero.

- El determinante de una matriz triangular se obtiene multiplicando los elementos de la diagonal principal.

- El determinante del producto de dos matrices cuadradas del mismo orden, es igual al producto de sus determinantes.

detAB = detBA = detA . detB

- Si tenemos una matriz de orden n (cuadrada) y obtenemos una matriz B a partir de una matriz A:

- Intercambiando 2 filas ó columnas, entonces ⎢B ⎢ es igual a menos el determinante de A.

- Multiplicando cada elemento de una fila o columna por un número real k, entonces el determinante de B es k veces el determinante de A.

- Sumando k veces cualquier fila o columna de A a otra fila o columna de A, donde k es un número real, el determinante de B es igual al determinante de A.

Menor (mij):

Para cada entrada aij de una matriz cuadrada A, el menor mij se define como el determinante de la matriz de orden n-1, al suprimir la fila i-ésima y la columna j-ésima.

Cofactor (cij):

El cofactor cij de la entrada aij de una matriz A, se define como el menor mij multiplicado