Trabajo teoria de control

Trabajo Teor´ıa De Control

Claudio Flores Dylan Espinoza Gioconda Hern´andez Camila Salfate

Profesor: Miguel Alfaro

Universidad de Santiago de Chile – Departamento de Ingenier´ıa Industrial

Enero 2020

Ejercicios

1. Usted ha sido contratado (a) por una empresa minera y debe determinar el plan de inversiones para incrementar la productividad de la empresa. Despu´es de estudiar el problema, ha descubierto que al no realizar inver- siones la tasa de producci´on decrece de manera proporcional a la misma. Sin  embargo,  al  invertir  la  tasa  de  producci´on  se  incrementa  de  manera proporcional  a  la  tasa  de  inversi´on.  La  superposici´on  de  ambos  efectos determina la tasa de producci´on en cada instante. Se sabe que la minera tiene un horizonte de funcionamiento de T unidades de tiempo y al finali- zar este periodo, la mina ser´a vendida a un precio proporcional al valor de la capacidad productiva en ese instante. Defina precisamente los par´ame- tros y las variables y sus caracter´ısticas (estado y control). Luego, formule un  modelo  de  optimizaci´on  din´amica  que  permita  determinar  el  plan  de inversiones  y  que  maximice  el  beneficio  neto  actualizado  de  la  operaci´on de la mina durante ese per´ıodo. Suponga que la tasa de inversi´on no puede superar un cierto valor. No resuelva el modelo.

Soluci´on:[pic 1]

Par´ametros:

ρ : Tasadecapitalizacio´ncontinua

p: Preciodeventadelaminaalfinalizarsufuncionamiento

x0: Cantidad inicial producida en la mina

Variables:

x(t): Cantidad producida en la mina en el instante t u(t): Tasa de inversi´on en el instante t

t ∈ {0, 1, ..} expresado en unidades de tiempo

Modelo Matem´atico:

Max   J = px(t)e−ρt        (1)

s.a   x˙(t) = x(t)u(t) − x(t)        (2)

x(0) = x0,        0 ≤ u ≤ A        (3)

1. Un dep´osito de agua a utilizar para apagar fuegos tiene escapes. Conside- rando que la altura se representa por x(t) y que se pierde un 10 % de su contenido a lo largo del tiempo, el operario que maneja el dep´osito decide manualmente incorporar una sonda que permita aumentar la afluencia de agua en el dep´osito, controlando as´ı el problema ante un incendio. Calcular el control ´optimo y su trayectoria si el objetivo es:

1. MaxJ = 5x(100)

∫ 150[pic 2][pic 3][pic 4]

Soluci´on  a:

 Parametros:[pic 5]

r : tasa de perdida del contenido de agua . r = 10 %

B :limite superior de afluencia del agua en el deposito

Variables :

x(t): Altura del contenido del agua dentro del recipiente.

u(t):Afluencia del agua ,para aumentar la cantidad en el deposito.

1. Modelo de optimizacion dinamica:

MaxJ = 5x(100)

sa x˙(t) = −0,1x(t) + u(t)

con x(0) = x0 , con x0 conocido 0 ≤ u(t) ≤ B

Sea el hamiltoniano:

H(x, u, λ, t) = λ(−0,1x + u) λ˙  =  dH[pic 6]

dx

λ = 5

Entonces :

dH[pic 7]

=        0,1λ[pic 8]

dx

λ˙  = 0,1λ

dλ

= 0,1dt[pic 9]

λ[pic 10]

dλ = 0,1        dt λ

λ(t) = Ce0,1∗t

Luego, aplicando las condiciones mencionadas anteriormen:

λ(100) = 5

5 = Ce0,1∗100 C = 5e−10

Por lo tanto la variable de coestado es:

λ∗(t) = 5e0,1∗t−10 , para todo t perteneciente a [1, 100]

MaxH(x∗, u, λ∗, t) = λ∗(−0,1x∗ + u) 0 ≤ u ≤ B

Aqui lo que nos interesa es maximizar el valor del hamiltoniano, encontrando el valor de u optimo.

MaxH = λ∗ u[pic 11]

0        u        B[pic 12]

λ∗(t) = 5e0,1∗t−10 (1)

Siempre que : 0        (1)[pic 13]