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Optimización de funciones

Enviado por   •  8 de Septiembre de 2020  •  Ensayos  •  1.024 Palabras (5 Páginas)  •  14 Visitas

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Optimización de funciones

Estudiante: Nombre de estudiante

Matrícula: xxxxxxxxxxxxx

Nombre del Módulo: Cálculo diferencial v2

Asesor: xxxxxxxxxxxxxx

Fecha de elaboración: 20 de Agosto del 2020


1.- Determina si la función  es creciente o decreciente en  y [pic 2][pic 3][pic 4]

Primero hay que derivar la función
[pic 5]

  • Sustituyendo  en la función [pic 6][pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

  • Por lo tanto:
  • como el resultado es negativo cuando  la función es decreciente[pic 14]
  • como el resultado es positivo cuando la función es creciente[pic 15]


2.- Determina los intervalos de concavidad de la función [pic 16]

Primero obtenemos la primera derivada:
[pic 17]

Ahora obtenemos la segunda derivada:
[pic 18]

Obtenemos la raíz igualando a cero la segunda derivada
[pic 19]

  • Determinamos los intervalos: ,y evaluamos la segunda derivada en valores de y  que son valores dentro de los intervalos determinados.[pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

  • Por lo tanto:
  • como el resultado es negativo en el primer intervalo definido en el resultado es cóncavo[pic 28]
  • como el resultado es positivo en el segundo intervalo definido en el resultado es convexo
    [pic 29]


3.- De acuerdo a la función   determina  los rangos en donde la función es creciente y/o decreciente, así como los rangos de concavidad, favor de señalar el tipo de [pic 30]

concavidad que presenta.

  • Primero obtenemos la primera y segunda derivada:

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

simplificando:

[pic 39]

[pic 40]

Ahora obtenemos los intervalos en la primera derivada
[pic 41]

el primer factor  lo igualamos a cero
[pic 42][pic 43]

  • usando la fórmula para ecuaciones de segundo grado: obtenemos los valores de  para el segundo factor:[pic 44][pic 45]

[pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

[pic 50]

[pic 51]

[pic 52]

[pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

[pic 56]

[pic 57]

  • Obtenemos que los tres valores de x son
    , ,[pic 58][pic 59][pic 60]
  • Los intervalos son [pic 61]

Ahora sustituimos en la primera derivada un valor dentro de cada rango:
[pic 62]

 Resultado del primer rango: Negativo
[pic 63][pic 64]

 Resultado del segundo rango: Positivo
[pic 65][pic 66]

Resultado del tercer rango: Negativo
[pic 67][pic 68]

  • Resultado del cuarto rango: Positivo[pic 69]
  • La función:
  • En el rango el resultado es negativo, por lo tanto es decreciente[pic 70]
  • En el rango el resultado es positivo, por lo tanto es creciente[pic 71]
  • En el rango el resultado es negativo, por lo tanto es decreciente[pic 72]
  • En el rango el resultado es positivo, por lo tanto es creciente[pic 73]

Ahora vamos a determinar la concavidad con la segunda derivada
[pic 74]

Simplificando:
[pic 75]

Igualamos a cero
[pic 76]

  • Usando la fórmula para ecuaciones de segundo grado: obtenemos los valores de :[pic 77][pic 78]

[pic 79]

[pic 80]

[pic 81]

[pic 82]

[pic 83]

[pic 84]

[pic 85]

[pic 86]

[pic 87]

[pic 88]

[pic 89]

[pic 90]

[pic 91]

[pic 92]

  • Determinamos que los valores de  son:
    , [pic 93][pic 94][pic 95]
  • Los intervalos son , ,[pic 96][pic 97][pic 98]

Evaluamos la segunda derivada en valores dentro de los intervalos:
[pic 99]

...

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