Formato Integración de funciones trigonométricas

Formato Integración de funciones trigonométricas

Datos del estudiante

Instrucciones:

1. Obtén la integral de las siguientes funciones trigonométricas.

Función 1

[pic 2]

[pic 3]

Demostración Paso a Paso:

En este apartado vamos a resolver la Integral del Seno cuadrado de x paso a paso:

1. En primer lugar empleamos la identidad trigonométrica:

Tenemos que sen2 x = [1 - cos (2x)] / 2, entonces 

∫ sen2 x · dx = ∫ [1 - cos (2x)] / 2 · dx

2. A continuación sacamos a constante fuera de la integral:

∫ [1 - cos (2x)] / 2 · dx = 1/2 ∫ 1 - cos (2x) · dx

3. Separamos los dos términos de la resta:

1/2 ∫ 1 - cos (2x) · dx = 1/2 ∫ 1 · dx - 1/2 ∫ cos (2x) · dx

4. Resolvemos la integral del primer término:

∫ 1 · dx = x + C

5. Resolvemos la integral del segundo término:

∫ cos (2x) · dx = 1/2 sen 2x + C

6. Por lo tanto la integral completa es:

∫ [1 - cos (2x)] / 2 · dx = 1/2 [x - 1/2 sen (2x)] + C

Función 2

[pic 4]

Tenemos que integrar (cos 3x) ^ 2 dx.

Sabemos que cos 2x = 2 * (cos x) ^ 2 - 1

=> (cos x) ^ 2 = (1 + cos 2x) / 2

Las expresiones que tenemos se pueden escribir como (1 + cos 6x) / 2

Int [(cos 3x) ^ 2 dx)

=> Int [(1 + cos 6x) / 2 dx]

deja u = 6x

=> du / 6 = dx

Int [(1 + cos 6x) / 2 dx]

=> (1/2) (1/6) * Int [(1 + cos u) du]

=> (1/12) * (u + sin u)

sustituyendo u = 6x

=> (1/12) (6x + sin 6x) + C

La integral requerida es (1/12) (6x + sin 6x) + C