Procesos de ITO
Enviado por poland6525 • 9 de Enero de 2019 • 678 Palabras (3 Páginas) • 346 Visitas
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El modelo empleado para el proceso que sigue el precio de acciones es un proceso de Îto. Siendo S la variable que denota el precio al tiempo t, considerando las funciones del proceso de Îto como a(S,t) = µS y b(S,t)=σS , el proceso de Îto toma la siguiente representación:
dS = µ Sdt + σS dz
Por una parte, si consideramos únicamente la tasa esperada de cambio se plantea la ecuación diferencial :
dS = µ Sdt , de forma equivalente, dS / S = µ dt
Cuya solución, integrando en el intervalo (0,T) es :
ST = S0 e µT
Lo que indica que si la variabilidad es cero, se espera que el precio siga un rendimiento continuo compuesto de µ por unidad de tiempo.
Notamos también que ST = S0 e xT nos lleva a que x ~ Φ[(µ-σ2/2) , σ / √T]
Por otra parte, si consideramos solo la variabilidad :
dS = σS dz
Indica que la variabilidad esperada depende del valor actual S y de la volatilidad del precio σ.
Propiedad Lognormal
A partir del Lema de Îto y de la definición del proceso dS = µ Sdt + σS dz, es posible conocer cuál es el comportamiento de G = ln S.
De acuerdo con el Lema de Îto G también es un proceso de Îto y puede mostrarse que el cambio en el proceso ln S en un intervalo (0,T) tiene distribución normal con media (µ-σ2/2)T y varianza σ2T. Es decir :
ln ST - ln S0 ~ Φ[(µ-σ2/2)T , σ √T]
o de forma equivalente:
ln ST ~ Φ[ln S0 + (µ-σ2/2)T , σ √T]
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