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UNIDAD I. ELEMENTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA.

Enviado por   •  27 de Marzo de 2018  •  7.358 Palabras (30 Páginas)  •  448 Visitas

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Cuando el centro de la circunferencia es el origen, es decir el punto (0, 0), la ecuación es:

x2 + y2 = r2

La circunferencia con centro en el punto (h, k) y radio r tiene como ecuación:

(x − h) 2 + (y − k) 2 = r2

Esta fórmula nos muestra las coordenadas del centro y la longitud del radio, por lo cual se conoce como forma radio-centro.

Al desarrollar el cuadrado de la ecuación inmediata anterior nos queda la expresión:

x2 − 2hx + h2 + y2 − 2ky + k2 = r2

Pasando r del lado izquierdo y agrupando términos nos queda:

x2 + y2 − 2hx − 2ky + (h2 + k2 − r2) = 0

Estableciendo las siguientes igualdades:

C = − 2h

D = − 2k

E = h2 + k2 − r2

Por lo tanto la ecuación que queda es la siguiente:

x2 + y2 − Cx − Dy + E = 0

Ecuación que se conoce como ecuación general de la circunferencia

Ejercicios.

I.- Dado el centro y el radio de la circunferencia obtener la ecuación.

1.- C(3, −4) r = 6 12.- [pic 11] r = [pic 12]

2.- C(0, 8) r = 5 13.- [pic 13] r = 25

3.- C(5, −3) r = [pic 14] 14.- [pic 15] r = 49

4.- [pic 16] r = [pic 17] 15.- [pic 18] r = 10

5.- C( −1, −6) r = 6

6.- [pic 19] [pic 20]

7.- [pic 21] [pic 22]

8.- [pic 23] [pic 24]

9.- [pic 25] r = 2

10.- C(−1, −3) r = [pic 26]

2.- Reducir las siguientes ecuaciones a la forma radio-centro.

[pic 27]

2.- La Parábola.

Definición.

Una parábola es el conjunto de todos los puntos P del plano que son equidistantes de una recta fija, L, llamada directriz, y de un punto fijo llamado foco.

Forma estándar:

Ecuación

Vértice

Eje

Foco

Directriz

x2 = 4py

(0, 0)

x = 0

(0, y)

y = − p

La gráfica se extiende hacia arriba si p > 0, y si p

Ecuación

Vértice

Eje

Foco

Directriz

y2 = 4px

(0, 0)

y = 0

(x, 0)

x = − p

La gráfica se extiende hacia la derecha si p > 0, y si p

Forma Canónica:

Ecuación

Vértice

Eje

Foco

Directriz

(x−h)2 = 4p(y−k)

(h, k)

x = h

(h, k +p)

y = k− p

La gráfica se extiende hacia arriba si p > 0, y si p

Ecuación

Vértice

Eje

Foco

Directriz

(y−k)2 = 4p(x−h)

(h, k)

y = k

(h + p, k)

x = h − p

La gráfica se extiende hacia la derecha si p > 0, y si p

Para obtener la ecuación de la parábola conociendo el foco y la directriz, es necesario utilizar las siguientes fórmulas.

(x − h)2 + (y − k)2 = (y − a)2

(x − h)2 + (y − k)2 = (x − a)2

I.- El vértice pasa por el origen, su eje a lo largo del eje de las abscisas y pasa por el punto

[pic 28]

Obtener la ecuación y graficar.

II.- El vértice pasa por el origen, su eje a lo largo del eje de las abscisas y pasa por el punto

[pic 29]

Obtener la ecuación y graficar.

III.- Obtener el vértice, el foco y la directriz de la parábola:

[pic 30]

IV.- Obtener la ecuación de la parábola conociendo el foco y el vértice.

a.- V (3, 2), F (1, 2)

b.- V (1, 4), F (3, 4)

c.- V (0, 0), F (3, 0)

d.- V (3, 2), F (5, 2)

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