UNIDAD I. ELEMENTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA.
Enviado por Ensa05 • 27 de Marzo de 2018 • 7.358 Palabras (30 Páginas) • 392 Visitas
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Cuando el centro de la circunferencia es el origen, es decir el punto (0, 0), la ecuación es:
x2 + y2 = r2
La circunferencia con centro en el punto (h, k) y radio r tiene como ecuación:
(x − h) 2 + (y − k) 2 = r2
Esta fórmula nos muestra las coordenadas del centro y la longitud del radio, por lo cual se conoce como forma radio-centro.
Al desarrollar el cuadrado de la ecuación inmediata anterior nos queda la expresión:
x2 − 2hx + h2 + y2 − 2ky + k2 = r2
Pasando r del lado izquierdo y agrupando términos nos queda:
x2 + y2 − 2hx − 2ky + (h2 + k2 − r2) = 0
Estableciendo las siguientes igualdades:
C = − 2h
D = − 2k
E = h2 + k2 − r2
Por lo tanto la ecuación que queda es la siguiente:
x2 + y2 − Cx − Dy + E = 0
Ecuación que se conoce como ecuación general de la circunferencia
Ejercicios.
I.- Dado el centro y el radio de la circunferencia obtener la ecuación.
1.- C(3, −4) r = 6 12.- [pic 11] r = [pic 12]
2.- C(0, 8) r = 5 13.- [pic 13] r = 25
3.- C(5, −3) r = [pic 14] 14.- [pic 15] r = 49
4.- [pic 16] r = [pic 17] 15.- [pic 18] r = 10
5.- C( −1, −6) r = 6
6.- [pic 19] [pic 20]
7.- [pic 21] [pic 22]
8.- [pic 23] [pic 24]
9.- [pic 25] r = 2
10.- C(−1, −3) r = [pic 26]
2.- Reducir las siguientes ecuaciones a la forma radio-centro.
[pic 27]
2.- La Parábola.
Definición.
Una parábola es el conjunto de todos los puntos P del plano que son equidistantes de una recta fija, L, llamada directriz, y de un punto fijo llamado foco.
Forma estándar:
Ecuación
Vértice
Eje
Foco
Directriz
x2 = 4py
(0, 0)
x = 0
(0, y)
y = − p
La gráfica se extiende hacia arriba si p > 0, y si p
Ecuación
Vértice
Eje
Foco
Directriz
y2 = 4px
(0, 0)
y = 0
(x, 0)
x = − p
La gráfica se extiende hacia la derecha si p > 0, y si p
Forma Canónica:
Ecuación
Vértice
Eje
Foco
Directriz
(x−h)2 = 4p(y−k)
(h, k)
x = h
(h, k +p)
y = k− p
La gráfica se extiende hacia arriba si p > 0, y si p
Ecuación
Vértice
Eje
Foco
Directriz
(y−k)2 = 4p(x−h)
(h, k)
y = k
(h + p, k)
x = h − p
La gráfica se extiende hacia la derecha si p > 0, y si p
Para obtener la ecuación de la parábola conociendo el foco y la directriz, es necesario utilizar las siguientes fórmulas.
(x − h)2 + (y − k)2 = (y − a)2
(x − h)2 + (y − k)2 = (x − a)2
I.- El vértice pasa por el origen, su eje a lo largo del eje de las abscisas y pasa por el punto
[pic 28]
Obtener la ecuación y graficar.
II.- El vértice pasa por el origen, su eje a lo largo del eje de las abscisas y pasa por el punto
[pic 29]
Obtener la ecuación y graficar.
III.- Obtener el vértice, el foco y la directriz de la parábola:
[pic 30]
IV.- Obtener la ecuación de la parábola conociendo el foco y el vértice.
a.- V (3, 2), F (1, 2)
b.- V (1, 4), F (3, 4)
c.- V (0, 0), F (3, 0)
d.- V (3, 2), F (5, 2)
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