Una reconsideración del corto plazo* LOUIS DE ALESSI

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Respecto al número de posibilidades en las transformaciones lineales generales, esto es en realidad muy restrictivo.

Transformaciones lineales:

constantes multiplicativas

Considerando ahora la columna 5. Es equivalente a la columna 1, excepto que está multiplicada por un constante, en este caso, 2. La columna 5 es una transformación monótona de la columna 1 y es también una transformación de la columna 1 “multiplicada por una constante”. La columna 6 es la columna 1 multiplicada por 6. Así, mientras las columnas 1,5,6 son transformaciones monótonas entre sí, son también un tipo más particular de transformación. Son transformaciones por una constante multiplicativa. Son casos especiales de transformaciones lineales que ahora discutiremos.

Transformaciones lineales

generales

Los números de la columna 7 son equivalentes a los de la columna 1 si se los multiplica por 2 y se les suma 3. Si llamamos ‘y’ a los números o “medidas” de la columna 7 y ‘x’ a los de la columna 1, tenemos y=2x+3. La columna 8 se deriva en forma similar a la de la columna 1; el multiplicador es 4 y la constante sumada es 2. La columna 8 viene dada por 4x +2; una mayor inspección nos muestra que la columna 8 puede derivarse de la columna 7 por el mismo proceso de multiplicación y suma. En este caso, la columna 8 se obtiene de la columna 7 multiplicado por 2 y sumando -4. Las columnas 1, 7 y 8 son entonces “transformaciones lineales” entre sí. Esto también se expresa diciendo que son las mismas medidas “hasta una transformación lineal”: o sea, cualquiera de estas medidas puede obtenerse de otra, seleccionando las constantes más apropiadas para poder multiplicar y sumar.

Existe una propiedad particular de las transformaciones lineales que tienen un significado histórico en economía. Consideremos la forma en que cambian los números al movernos de una entidad a otra. Por ejemplo, consideremos las columnas 1 y 7. El cambio numérico al pasar de la entidad E a la F tiene un valor de 2 en la medida de la columna 1, mientras que en la medida de la columna 7 tiene un valor numérico de 4. Al pasar de F a G el cambio es 4 usando la medida 1, y 7 si se usa la 8. Si el incremento es positivo, será positivo en todas las series que sean transformaciones lineales de esta serie particular. Pero esto es cierto también para todas las transformaciones monótonas --una clase mucho más amplia de transformaciones o medidas. Sin embargo, tiene mayor significado el siguiente atributo de las transformaciones lineales: si las diferencias entre los números en una serie se incrementan (o disminuyen) de una entidad a otra, entonces las diferencias entre los números de estas mismas entidades en todas sus transformaciones lineales serán también crecientes (o decrecientes). Por lo general, la propiedad de incrementos crecientes o decrecientes no se ve afectada al pasar de una serie de números a una transformación lineal de dicha serie. En términos matemáticos, el signo de las diferencias segundas de una serie de números es invariable a las transformaciones lineales de dicha serie. El significado de invariabilidad se discutirá luego, pero debemos notar que esta propiedad de diferencias crecientes (o decrecientes) entre los números asignados a pares de entidades no es otra cosa que la utilidad marginal creciente –si llamamos “utilidades” a los números asignados.

- GRADO DE MENSURABILIDAD

Orden

En las nueve columnas del cuadro 4-1 hay nueve medidas “diferentes” de algún aspecto particular de las entidades llamadas A, B, C, … J. ¿Son diferentes? Ya hemos contestado a esto. ¿Cuál es la medida “correcta”? Esto depende de lo que se quiera hacerse con las entidades y los números. Sería más útil preguntar cuál es una medida satisfactoria, pues está claro que debemos manifestar para qué debe ser satisfactoria. Por ejemplo, si mi única preocupación fuese predecir qué entidad sería la más pesada, la menos pesada, etc., podría, comparado sucesivamente pares en una escala balanceada, ordenar completamente las entidades. (Habiéndolo hecho, podría luego asignar los números de cualquiera de las columnas 1 a 9) en la medida que asigne el mayor número a la más pesada, y así sucesivamente. Esto significa que para el propósito de indicar un orden es aceptable cualquiera de las transformaciones monótonas.

Queda ahora la tarea de determinar si el orden está “correctamente” establecido; el hecho de que el orden sea el mismo, sin importar cuál de las transformaciones se use, no implica que el orden sea correcto. ¿Qué queremos significar por “correctamente”? Queremos decir que el orden que hayamos establecido o predicho combina con el orden establecido por cualquier otro proceso ordenador observable. Podríamos poner a las entidades en una nueva escala de peso (las nueve escalas son la “prueba”), y entonces la adecuación entre el orden derivado de esta nueva escala con el orden establecido previamente es una verificación de la corrección (validez predictiva) de nuestro primer ordenamiento. Cualquier transformación monótona de una serie de números que resulta válida es para el propósito de ésta ilustración completamente equivalente a los números usa-….pag46