Ejemplo de la Ley de Biot-Savart, Ampere y Gauss.

...

Sustituyendo los valores que conocemos:

I=B*2*π*R / μ0 I=4⋅10−4⋅2⋅π⋅3⋅10−2 / 4*π*10−7

I=60 A

2.- Una espira de radio R = 5 cm por la que circula una corriente eléctrica en sentido horario de 30 A se encuentra situada en el plano de la pantalla. ¿Cuál es el campo magnético en el centro de la espira?

Datos

R = 5 cm = 5 · 10-2 m

I = 30 A

Resolución

Si aplicamos la expresión para calcular el campo magnético creado por una espira en su centro, obtenemos que:

B=μ0*I / 2*R B=4π*10−7*30 / 2*5*10−2

B=3.77⋅10−4 T

Ley de Ampere

El físico y matemático André-Marie Ampere (1775-1836) enunció uno de los principales teoremas del electromagnetismo que suele considerarse como el homólogo magnético del teorema de Gauss.[pic 9]

Si recordamos algunos conceptos ya vistos, el campo eléctrico es conservativo lo que implica que su circulación a lo largo de una línea cerrada es nula:

∮E→*dl→ =−ΔV=0

La ley de Ampere determina que la circulación del campo magnético a lo largo de una línea cerrada es equivalente a la suma algebraica de las intensidades de las corrientes que atraviesan la superficie delimitada por la línea cerrada, multiplicada por la permitividad del medio. En concreto para el vacío:

∮B→⋅dl→ =μ0*∑I

Formulas

Ley de Ampere: ∮B→⋅dl→ =μ0*∑I

Campo creado en el interior de un solenoide: B=μ*I*N / L

Ejercicios

1.- Si sabemos que por un solenoide vacío de 5 cm circula una corriente eléctrica de 12 A y el campo magnético creado en su interior es 0.1 T. ¿De cuántas espiras está compuesto el solenoide?

Datos

L = 5 cm = 0.05 m

I = 12 A

B = 0.1 T

μ =μ0 = 4*π*10-7 m*kg/C2

N =?

Resolución

Para determinar el número de espiras basta con aplicar la fórmula del campo magnético generado en el interior de un solenoide y sustituir los valores que conocemos:

B=μ0*I*N / L ⇒N = B*L /μ0*I N=0.1 ⋅*0.05 / 4*π*10−7*12

N=332 espiras

2.-

Ley de gauss

La ley de Gauss, también conocida como teorema de Gauss fue enunciada por el matemático alemán Karl Friederich Gauss (1777-1855). Dicho matemático determinó en esta ley una relación entre el flujo eléctrico que atraviesa una superficie cerrada y la carga eléctrica que se encuentra en su interior.

El teorema de Gauss establece que el flujo de campo eléctrico que atraviesa una superficie cerrada es igual a la carga neta situada en su interior dividida por la constante dieléctrica del medio.

ΦE=∮SE→⋅dS→ = Qε

Donde:

ΦE es el flujo neto de carga

E→ es la intensidad de campo eléctrico

dS→ es un diferencial del vector de superficie (trozo elemental de superficie)

Q es la carga contenida en la superficie

ε es la constante dieléctrica del medio.

Es decir: La ley de Gauss establece que el flujo de ciertos campos a través de una superficie cerrada es proporcional a la magnitud de las fuentes del campo que hay en el interior de dicha superficie. Estos campos son aquellos cuya intensidad decrece como la distancia a la fuente al cuadrado. La constante de proporcionalidad depende del sistema de unidades empleado.

Un cubo de lado 0.3 m está colocado con un vértice en el origen de coordenadas como se muestra en la figura. Se encuentra en el seno de un campo eléctrico no uniforme, que viene dado por E→= (−5*x*i→+3*z*k→) N/C:

a) Halla el flujo eléctrico a través de sus seis caras.

b) Determina la carga eléctrica total en su interior.

Solución:

Datos: l = 0.3 m

E→= (−5*x*i→+3*z*k→) N/C

Consideraciones previas

Para identificar el flujo que atraviesa cada una de las caras, las numeraremos de la siguiente forma:

De forma general todas las superficies vienen dadas por un vector S cuyo módulo es el área de dicha superficie y su dirección y sentido perpendicular al plano. De esta forma, teniendo en cuenta que el área de cada una de ellas es lado por lado (l2), obtenemos que el vector S de cada una de ellas es:

S1=l2*i→

S2=−l2*i→

S3=l2*k→

S4=−l2*k→

S5=l2*j→

S6=−l2*j→

Resolución

El flujo total (Φ) que atraviesa el cubo será la suma del flujo que atraviesa cada una de las caras (Φ1, Φ2,...), o lo que es lo mismo:

Φ=Φ1+Φ2+Φ3+Φ4+Φ5+Φ6

Adicionalmente nos centraremos en la definición del flujo eléctrico de un campo uniforme sobre una superficie plana el cual establece que:

Φ=E→⋅S→=E*S*cos (E→, S→)

Por esta razón vamos a calcular el flujo para cada una de las caras: