Problemas probabilidad.

...

75

4

10

15

50

100

25

200

5

1

2

3

4

30

10

50

23

82

118

112

55

10

400

a)

b)

c)

4) Un alumno se enfrenta a un examen de tipo test en el que todas las preguntas son de la misma dificultad, y tienen cuatro alternativas de las que sólo una es correcta. El alumno decide contestar a todas las preguntas, y dado su nivel de conocimientos, la probabilidad de que sepa la solución correcta de una pregunta elegida al azar, P(S), es 0’8. Si el alumno sabe la pregunta, entonces la acierta, es decir, P(A/S)=1. Si no sabe la solución correcta marca una de las alternativas aleatoriamente, de tal forma que P(A/NS)=0,25. Con estos datos:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que nuestro alumno acierte una pregunta cualquiera?

b) Sabiendo que el alumno ha acertado una pregunta, ¿Cuál es la probabilidad de que sepa cuál es la solución correcta?

c) Si el examen consta de 20 preguntas. ¿Cuántas de ellas acertará más probablemente?

Solución

a) La probabilidad de acertar es igual a la "probabilidad de saber la pregunta y acertarla más la probabilidad de no saberla y acertarla", es decir:

a) Aplicando en teorema de Bayes:

c) Se trata de la esperanza de una Bi(20,0.85)

5) Sea un sistema de Videoconferencia conectado a 7 centros de la UNED. En ocasiones la transmisión se interrumpe, debido a factores técnicos, de manera aleatoria e independiente el 15 por ciento del tiempo de recepción. Tomado al azar un instante concreto, obtener la probabilidad de que se reciba la señal:

a) En un sólo centro.

b) En más de cinco centros.

c) En más de 2 y menos de 6 centros.

Solución

a) Se trata de una distribución binomial,

b) En más de 5 centros es que la transmisión se reciba en 6 o 7 centros:

c) En más de 2 centros y en menos de seis es que la transmisión se reciba en 3 o

4 o 5 centros

6) En un laberinto con tres salidas (A, B y C) equiprobables, se considera ensayo "exitoso" sólo si la rata sale por C. Calcular:

a) Si se sitúan 10 ratas, la probabilidad de que 5 ratas salgan por C.

b) La probabilidad de que se necesite colocar a 10 ratas para que 4 salgan por C.

c) Si se colocaran 300 ratas, la probabilidad de que 110 ó más salieran por C.

Solución

P(éxito)= p = 1/3

P(fracaso)= q = 2/3

X= número de éxitos

a) Distribución binomial,

b) Distribución binomial negativa, donde la variable es el número de ensayos requeridos, n, para obtener X = 4 "éxitos"

c) Como el número de ensayos es muy grande se trata de una distribución binomial que se aproxima a la normal. Aplicaremos la corrección por continuidad

7) Se sabe que el nacimiento de un niño con deficiencia mental (mongolismo) está en función de la edad de la madre. Cuando la madre tiene menos de 30 años nace deficiente 1 de cada mil. Este número se multiplica por 2 cuando la madre tiene entre 30 y 38 años y se multiplica por 20 a partir de 38 años. En la siguiente tabla se recogen los datos de un grupo de madres que darán a luz durante el presente año:

Edad

Nº de madres

<30

2000

30-38

500

>38

100

Suponiendo que no hay partos múltiples, y sin utilizar tablas, conteste a las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que nazcan exactamente 3 niños deficientes en el grupo de madres de menor edad?.

b) Si consideramos el grupo de edad entre 30 y 38 años ¿Cuál es la probabilidad de que nazcan más de 1 y menos de 4 niños deficientes?.

c) ¿Qué número de niños deficientes nacerá más probablemente durante el presente año?.

Solución

a) Como n=2000, aproximamos por una distribución de Poisson de parámetro

b)

c) La esperanza de una Poisson, X, de parámetro , E(X) =

8) Entre la población de personas que presentan una alta hostilidad, se producen al año un promedio de 3.65 infartos de miocardio al