NOTAS DE GEOMATRIA EUCLIDIANA.

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Para construir el Cálculo Proposicional se necesitan los siguientes elementos:

- Proposiciones, las que se designan con letras minúsculas: p, q, r, …

- Signos lógicos: [pic 8] ( negación) y V (disyunción), [pic 9] (conjunción), [pic 10](implicación) [pic 11](doble implicación)

- Con los signos lógicos[pic 12] y V, se pueden construir los demás símbolos de la lógica, lo que podemos observar en las siguientes equivalencias o definiciones:

- p[pic 13][pic 14][pic 15]p

- (p [pic 16] q) [pic 17]([pic 18]p[pic 19]q)

- (p[pic 20]q) [pic 21] [pic 22] ([pic 23]p[pic 24][pic 25]q)

- [pic 26]

Si p es una proposición enunciado [pic 27]p es la negación de dicha proposición.

Si p y q son proposiciones entonces su disyunción p ó q se escribe p[pic 28] q.

Otros signos:

[pic 29]: Signo de la conjunción lógica. Si p y q son proposiciones su conjunción p y q se escribe P[pic 30] Q.

Otras implicaciones asociadas a p [pic 31]q:

- [pic 32] que se llama implicación recíproca.

- [pic 33]que se llama implicación contrarrecíproca.

- [pic 34] que se llama implicación contraria.

Ejemplo: Sea p: “El cuadrilátero ABCD es un cuadrado” y q: “ El cuadrilátero ABCD tiene sus cuatro lados iguales”. Entonces [pic 35] es una proposición verdadera. [pic 36], no siempre se cumple, pues el rombo es otro cuadrilátero con los 4 lados iguales. [pic 37], es verdadera pues si un cuadrilátero no es un cuadrado, entonces no tiene los lados iguales. [pic 38], es verdadera pues si un cuadrilátero tiene los lados iguales entonces no es un cuadrado.

Concluimos lo siguiente:

- El recíproco de un teorema no siempre se cumple.

- La proposición contraria siempre se cumple.

- La proposición contrarrecíproca siempre se cumple.

[pic 39]: Signo de la equivalencia se define [pic 40]

La proposición[pic 41] puede leerse de las siguientes formas:

- p equivale a q

- p es necesaria y suficiente para q.

- P si y solo si q.

- q es condición necesaria y suficiente para p

Cuando La proposición [pic 42], y la proposición recíproca [pic 43], son ambas verdadera, se tiene la equivalencia:[pic 44]

Ejemplo:

p:”El ▲ABC es isósceles”. q: “En el ▲ABC, AB igual a AC.

[pic 45] : Si el ▲ABC es isósceles entonces AB igual a AC *1

[pic 46]: Si en el ▲ABC AB igual a AC entonces el ▲ABC es isósceles *2

“Tener dos lados iguales” es una condición necesaria y suficiente para que un triángulo sea isósceles.

De *1 y *2 [pic 47].

Otro ejemplo:

P : “El cuadrilátero ABCD es un cuadrado” y q : “ El cuadrilátero ABCD tiene sus cuatro lados iguales”

[pic 48]: Si el cuadrilátero ABCD es un cuadrado entonces el cuadrilátero ABCD tiene sus lados iguales.

[pic 49]: Si el cuadrilátero ABCD tiene sus lados iguales entonces no siempre es un cuadrado.

En este caso no se da la equivalencia: “tener los lados iguales “ es una condición necesaria para ser un cuadrado pero no es suficiente.

Algunas equivalencias de la lógica preposicional son:

- p[pic 50][pic 51][pic 52]p

- (p [pic 53] q) [pic 54]([pic 55]p[pic 56]q)

- [pic 57]

- [pic 58]

- [pic 59]

- [pic 60]

- [pic 61]

- [pic 62]

Algunas reglas de inferencia:

- MODUS PONENDO PONEN (Modo que afirmando, afirma).

Este principio establece lo siguiente:

[pic 63]

- MODUS TOLLENDO TOLLENS (Modo que negando, niega).

Este principio establece lo siguiente:

[pic 64]

- MODUS TOLLENDO PONENS (Modo que negando afirma).

Si p v q se cumple y [pic 65]p se cumple entonces se puede concluir q

Si p v q se cumple y [pic 66]q se cumple entonces se puede concluir p

- REGLA DEL SILOGISMO

Este principio establece lo siguiente:

[pic 67]

- Regle de adjunción:

Si p entonces pvq

- Regla de la conjunción

[pic 68]

- Regla de la Simplificación

[pic 69]

- Regla del Contra recíproco

(P [pic 70] Q) [pic 71]([pic 72]Q [pic 73] [pic 74] P).

Tres principios fundamentales.

- Principio lógico de identidad: Toda cosa es lo que es p es p [pic 75]

- Principio lógico del tercero excluido: Dos proposiciones contradictorias no pueden ser ambas falsas o ambas verdaderas, necesariamente