Geometria euclidiana

...

Resulta: rs= mz

st= nz

De donde: rs/st= m/n (2)

de (1) y (2):

op/pq= rs/st

Esta demostración, que no se debe a Thales, es incorrecta.

Quienes explican el error cometido son los Pitagóricos. Si bien al escuchar el nombre de Pitágoras (VI A.C.) evocamos inmediatamente el teorema que lleva su nombre, esa relación entre la hipotenusa y .los catetos de un triángulo rectángulo era conocida 1200 años antes del propio Pitágoras. En este caso evocamos a los pitagóricos por otro de sus hallazgos, íntimamente ligado con el famoso teorema: la existencia de segmentos inconmensurables.

Los pitagóricos demostraron que:

existen segmentos ab y cd para los cuales no puede encontrarse una unidad u, tal que se verifique que ab = mu y cd = nu, m y n naturales.

Esta conclusión explica la falla del razonamiento de la demostración presentada.

4. Los pitagóricos.

A éstos se les atribuye otros logros en Geometría, como por ejemplo:

- el haber demostrado que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos.

- la demostración de que los únicos polígonos regulares que pueden llenar el plano son el triángulo equilátero, el cuadrado y el exágono y, como consecuencia de ello, el reconocimiento y la construcción de al menos tres de los poliedros regulares: tetraedro, cubo y dodecaedro.

- el método para la construcción con regla y compás del pentágono regular, ya que el símbolo de la secta era el pentalfa (pentágono regular estrellado).

Además, otros matemáticos como Eudoxio, Euclides, Arquímedes y Apolonio hicieron sus aportes al intento de solución de los problemas conocidos en la Historia de la Matemática como los “problemas clásicos de la Geometría” entre los griegos.

Estos tres problemas consisten en la resolución con regla y compás de las siguientes situaciones:

- trisección del ángulo.

- obtención de la arista de un cubo de volumen doble del de otro dado.

- construcción de un cuadrado equivalente a un círculo dado (cuadratura del círculo).

Recién en el siglo XIX pudo demostrarse la imposibilidad de tales construcciones con el método propuesto.

Estos problemas actuaron como profundas motivaciones para la investigación matemática, y nos muestran la importancia que pueden tener los problemas concretos para promover las actitudes de investigación. Al mismo tiempo nos recuerdan que, en Matemática, demostrar que un problema no tiene solución es darle una solución.

5. Los Elementos de Euclides.

Según un antiguo comentarista (Proclo), Euclides vivió en la época de Ptolomeo I, es decir en el siglo II A.C.

Su obra más importante se titula “Elementos” y de ella se ha dicho que habría bastado por sí sola para haber perpetuado la gloria de los pensadores griegos y obligado al reconocimiento de su brillante labor por la comunidad científica de todos los tiempos.

Los “Elementos” constituyeron durante muchos siglos el paradigma de lo que debe ser una ciencia deductiva. La obra se estructura en forma muy cercana a lo propuesto por Aristóteles, según el cual una ciencia:

- es un conjunto de afirmaciones verdaderas sobre determinados objetos.

- estas afirmaciones deben ser necesarias.

- algunas de estas afirmaciones deben tomarse como principios (axiomas y postulados).

- toda proposición que no sea un principio debe demostrarse a partir de ellos.

- algunos de los términos que aparecen en la ciencia no se definen pero su existencia debe suponerse y su significado debe comprenderse.

- todo otro término que aparezca en la ciencia debe obtenerse de los anteriores y su existencia debe demostrarse.

Euclides conocía muy bien la obra de Aristóteles. En muchos aspectos la sigue cuidadosamente. En las primeras páginas aparecen las siguientes definiciones:

1. Punto es lo que no tiene partes.

2. Línea es la longitud sin anchura.

3. Los extremos de la línea son puntos.

4. Línea recta es la que yace por igual sobre sus puntos.

8. Ángulo plano es la inclinación de dos líneas que se encuentran en un plano y no yacen las dos sobre una recta.

15. Círculo es una figura plana limitada por una sola línea que se llama periferia, respecto de la cual son iguales las rectas que inciden sobre ella trazadas desde uno de los puntos situado en el interior de la figura.

16. Este punto se llama centro.

19. Figuras rectilíneas son la limitadas por rectas. Triláteras si lo están por tres, cuadriláteras por cuatro y multiláteras por más de cuatro.

20. Entre las figuras triláteras, el triángulo es equilátero si tiene los tres lados iguales, isósceles si sólo tiene dos lados iguales, y escaleno si sus tres lados son desiguales.

23. Rectas paralelas son las que, estando en el mismo plano y prolongadas indefinidamente, no se encuentran.

Estas definiciones que fueron elegidas de las 23 que conforman el comienzo de los “Elementos”, nos permiten efectuar algunos comentarios:

Se observa un intento de definir todos los términos (definiciones 1 y 2); esto, que es impracticable desde un punto de vista lógico, puede atribuirse a una posible intención didáctica de Euclides.

La definición 3 nos muestra la intención de trabajar con figuras finitas. Las líneas tienen extremos. Luego, en nuestro lenguaje actual son segmentos.

Las definiciones 5, 6 y 7 muestran la misma actitud respecto de las