CONTROL DIGITAL RESUMEN DE MODELO DISCRETO DE ESTADO

...

Hecha esta puntualización, se puede partir de la función de transferencia en z del sistema discreto:

[pic 9]

Donde tanto los a como los b, pueden ser nulos.

En el caso de los sistemas continuos se utiliza para la obtención del modelo de estado el operador. En el caso discreto, dicho operación se sustituye por el de desplazamiento, haciendo uso de éste para el cálculo del modelo, manteniéndose de esta forma la analogía entre el discreto y el continuo:

[pic 10]

Teniendo cuenta el establecimiento de esta correspondencia entre sistemas continuos y discretos, se volver a plantear los métodos utilizados para la obtención de modelos de estado continuos, ahora desde el punto de vista discreto.

7.4.1. Modelo de estado en variables de fase

Partiendo de la expresión de la función de en z dada 7.12, para la obtención del modelo de estado en variables de se utiliza la variable auxiliar W (z), definida como:

[pic 11]

A partir de la cual se obtienen las variables de estado de la siguiente forma

[pic 12]

De manera que las ecuaciones del modelo de estado quedan como:

[pic 13]

7.4.2 modelo de estado en variables de jordan

Partiendo de la misma expresión de la función de transferencia en z que en el caso anterior, se realiza una descomposición en fracciones simples de la forma:

[pic 14]

Donde los λ son los valores propios de la matriz A, que por simplicidad se suponen de multiplicidad uno. Dada esta descomposición, se obtiene el modelo de estado a partir de las transformadas de las variables de estado.

[pic 15]

Es decir:

[pic 16]

O bien de forma matricial:

[pic 17]

Caso de raíces de multiplicidad q

Si el sistema no admite una descomposición en fracciones simples porque existe una raíz con multiplicidad q, es decir, que la factorización queda como

[pic 18]

Se eligen como transformada z de las variables de estado:

[pic 19]

Que pasadas a su expresión como ecuación en diferencias mediante la transformada inversa z quedan como:

[pic 20]

Y expresadas en forma matricial:

[pic 21][pic 22]

[pic 23][pic 24]

Obsérvese que la existencia de polos múltiples genera en la matriz del sistema unas submatrices, tal como se puede apreciar en la ecuación, en las que, además de tener la diagonal el polo múltiple, aparecen elementos unitarios en la diagonal inmediatamente superior. Estas se denominan bloques de Jordan

7.4.3. Transformaciones lineales

La falta de unicidad en la representación de estado de un sistema se explica considerando que el espacio de estados es un espacio vectorial: todo espacio vectorial de dimensión n queda determinado por cualquier de n vectores de dicho espacio que linealmente independientes.

Si (x1, x2…..xn) son las componentes de un vector respecto de una base:

[pic 25]

Y se torna una segunda formada por los vectores linealmente independientes (t , t2 , . tn), entonces el x se puede expresar como:

[pic 26]

Denominado a la matriz formada por las componentes de los de la nueva base respecto de la antigua:

[pic 27]

Se convierte en:

[pic 28]

Teniendo en cuenta que t es no singular ya que sus columnas son vectores linealmente independientes:

[pic 29]

Estas transformaciones se pueden utilizar para obtener diversas de estado de los "ternas. Si, por ejemplo, se tiene el sistema:

[pic 30]

Y se realiza la transformación

[pic 31]

La ecuación de estado se modifica de la forma:

[pic 32]

Y pre multiplicado por T-1:

[pic 33]

Mientras que la ecuación de salida resulta:

[pic 34]

Quedando por tanto, definida una nueva representación del estado del sistema.

7.5 Obtención de la representación externa a partir del estado

La representación externa por medio de la función de transferencia en z únicamente contempla los sistemas lineales invariantes con el tiempo. Partiendo por consiguiente, de un sistema de este tipo:

[pic 35]

Se toman transformadas en z, obteniéndose:

[pic 36]

Y resolviendo en X(z):

[pic 37]

Sustituyendo en la ecuación de salida queda:

[pic 38]

Y, por tanto, la matriz de funciones de transferencia viene dad por:

[pic 39]

Teniendo en cuenta que la inversa de (zI-A)-1 es la adjunta de la transpuesta dividida por el determinante, resulta que el polinomio característico del sistema viene dado por dicho determinante:

[pic 40]