ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD

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de Reynolds

Según la tabla a continuación: ρ: densidad; V: velocidad del fluido; D: diámetro de la tubería; μ: viscosidad; v: viscosidad cinemática. Representa el estudio de la transición entre flujo laminar y flujo turbulento en un tubo. Y se usa para una semejanza dinámica con predominio de la viscosidad.

-Número de Mach

c: velocidad del sonido en el fluido. Caracteriza los efectos de compresibilidad en el fluido. Y se usa para una semejanza dinámica con predominio de la elasticidad.

-Número de Froude

Caracteriza los efectos de las fuerzas gravitacionales. Y se usa para una semejanza dinámica con predominio de la gravedad.

-Número de Euler

ΔP: presión local – presión corriente arriba. Este caracteriza la presión en forma adimensional. Se usa para semejanza dinámica en gradiente de presiones. Por ejemplo en pruebas aerodinámicas y de otro tipo en modelos, en donde la caída de presión es significativa.

Similitud

Es principal conocer el concepto subyacente de análisis dimensional antes de estudiar la técnica del análisis dimensional. Se comienza con conocer el principio de la similitud. Existen tres condiciones necesarias para la similitud completa entre un prototipo y un modelo. Primera condición es la similitud geométrica: el modelo debe tener la misma forma que el prototipo, pero se le puede escalar por algún factor de escala constante.

La segunda similitud cinemática: la velocidad en cualquier punto en el flujo del modelo debe ser proporcional (conociendo un factor de escala constante) a la velocidad en el punto correspondiente en el flujo del prototipo. Específicamente, para similitud cinemática la velocidad en puntos correspondientes debe escalar en magnitud y debe apuntar en la misma dirección relativa. La similitud geométrica se puede considerar como equivalencia en escala de longitud y la similitud cinemática como equivalencia en escala de tiempo. La similitud geométrica es un requisito para la similitud cinemática. Tal como el factor de escala geométrica puede ser menor que, igual a, o mayor que uno; del mismo modo puede ser el factor de escala de velocidad.

Sacada del libro de Yonus A. Çengel

En la figura mostrada, se explica que, el factor de escala geométrico es menor que uno (el modelo es más pequeño que el prototipo), pero la escala de velocidad es mayor que uno (las velocidades alrededor del modelo son mayores que las que están alrededor del prototipo). Las líneas de corriente son fenómenos cinemáticos; por lo tanto, el patrón de líneas de corriente en el flujo del modelo es una copia a escala geométrica de las líneas en el flujo del prototipo cuando se logra la similitud cinemática.

Cuando los flujos tienen distribuciones de fuerzas tales que en puntos correspondientes de ambos flujos (modelo y prototipo), los tipos idénticos de fuerzas son paralelos y se relacionan en magnitud por un factor de escala λ en todos los puntos correspondientes. La forma de comparar un modelo con un prototipo es con los parámetros adimensionales, por lo general se pueden utilizar los conocidos, según el tipo de fenómeno que se quiera estudiar, es decir: • Cuando en un fenómeno no intervienen más fuerzas que las debidas al gradiente de presión: Eum = Eup

• Cuando en el fenómeno existe predominio de la gravedad: Fr Fr Eu f (Fr) m = p =

• Cuando en el fenómeno existe predominio de la viscosidad: Re Re Eu f (Re) m = p =

• Cuando en el fenómeno existe predominio de la compresibilidad: M M Eu f (M ) m = p =

• Cuando en el fenómeno existe predominio de la tensión superficial: We Wer Eu f (We) m = p = Para una semejanza dinámica perfecta se deberían cumplir simultáneamente las semejanzas de todos los números adimensionales.

Esto es imposible por lo cual se escoge por lo general una sola semejanza, que será siempre la que más afecta el fenómeno estudiado.

La tercera es la similitud dinámica la cual se logra cuando las fuerzas en el flujo del modelo se escalan por un factor constante a fuerzas correspondientes en el flujo del prototipo .Al igual que cuando se había comparado con las similitudes geométricas y cinemática, el factor de escala de fuerza es menor que uno dado que la fuerza sobre el edificio modelo es menor que el del prototipo. La similitud cinemática es una condición necesaria pero insuficiente para similitud dinámica. Por lo tanto, es posible para un flujo de modelo y un flujo de prototipo lograr tanto similitud geométrica como cinemática, pero no similitud dinámica. Para garantizar similitud completa deben existir las tres condiciones de similitud.

Se usa la letra griega mayúscula pi (π) para denotar un parámetro adimensional. El lector ya está familiarizado con una (π), a saber, el número de Froude, Fr. En un problema general de análisis dimensional, existe una (π) que se llama dependiente, a la que se le da la notación (π). El parámetro (π) es, en general, una función de otras varias(π), que se llaman independientes. La relación funcional es:

(π)1=f(π2, π3,……. ,πn)

Hay un experimento en que se tiene un modelo a escala se pone a prueba para simular un flujo de prototipo. Para garantizar la similitud completa entre el modelo y el prototipo, cada π indepentiente del modelo ( subíndice m) debe ser idéntico a la corresponde π independiente del prototipo ( subíndice p) es decir: π2, m= π2, π3,m= π3, p,……., πk,m= πk,p

Para garantizar similitud completa, el modelo y el prototipo deben ser geométricamente

Similares, y todos los grupos π independientes deben coincidir entre modelo y prototipo.

En estas condiciones, se garantiza que la π dependiente del modelo (π1, m) se iguale también con la π dependiente del prototipo (π1, p). Matemáticamente, se escribe un enunciado condicional para lograr similitud,

π1,m=π1,p

Para tener el ejemplo más claro, en el diseño de un nuevo auto deportivo, cuya aerodinámica