Administración financiera fundamentos y aplicaciones 3ª edición prensa moderna IMPRESORES S.A

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al factorizar se tiene:

P= g 1 + 2 +….+ (n-1) P= g 1 + 2 +….+ (n-1) [pic 27][pic 28][pic 29]

1+i (1+i)2 (1+i)3 (1+i)n 1+i) (1+i)2 (1+i)n-1 (2) [pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]

Al efectuar (2) - (1) se obtiene:

Pi = g 1 2 -1 + …+ (n-1)-(n-2) - (n-1)[pic 41]

(1+ i) (1+i)2 (1+i)n-1 (1+i)n[pic 42][pic 43][pic 44][pic 45]

Pi = g 1 1 + …+ 1 + 1 - n[pic 46]

(1+ i) (1+i)2 (1+i)n-1 (1+i)n (1+i)n[pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51]

Pi = g 1 1 + …+ 1 + 1 - ng[pic 52]

i (1+ i) (1+i)2 (1+i)n-1 (1+i)n i(1+i)n (1)[pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58]

lo que esta entre corchetes es la suma de los términos de una progresión geométrica decreciente.

1 1 - 1[pic 59]

Suma = a(1-r n) suma = 1+i (1+i)n[pic 60][pic 61]

1-r 1 - 1[pic 62][pic 63]

1 + i[pic 64]

(1+i)n - 1

suma = (1+i) (1+i)n suma = (1+i)n - 1[pic 65]

i i(1+i)n[pic 66][pic 67]

1 + i[pic 68][pic 69]

al remplazar en (1) P = g (1+i)n – 1 - ng

i i(1+i)n i(1+i)n[pic 70][pic 71][pic 72]

luego, P= g (1+i)n – 1 - n [pic 73]

i i(1+i)n (1+i)n [pic 74][pic 75][pic 76]

si se desea actualizar toda la serie, incluida la base que esta en todos los valores, se tiene:

P=k (1+i)n - 1 + g (1+i)n - 1 - n[pic 77][pic 78]

i(1+i)n i i(1+i)n (1+i)n[pic 79][pic 80][pic 81][pic 82]

Nota: si la serie es decreciente, basta cambiar el signo más (+) por el signo menos (-) a la serie del gradiente.

Para calcular la serie uniforme equivalente del gradiente se procede así:

P = k i(1+i)n como P = g (1+i)n - 1 - n [pic 83][pic 84]

(1+i)n - 1 i i(1+i)n (1+i)n[pic 85][pic 86][pic 87][pic 88]

Al remplazar P en (2) se tiene: A = g (1+i)n – 1 - n i(1+i)n[pic 89][pic 90]

i i(1+i)n (1+i)n (1+i)n - 1[pic 91][pic 92][pic 93][pic 94]

luego, A = g 1 - ni A = g 1 - n[pic 95][pic 96]

i (1+i)n - 1 i (1+i)n - 1 [pic 97][pic 98][pic 99][pic 100]

Ejemplo

El señor Pérez ahorrará $10.000 mensuales durante 12 meses en una corporación que le reconoce el 3% mensual. Su primer ahorro lo hará dentro de 3 meses. Cada ahorro que haga el señor Pérez lo incrementará en $2.000. ¿Cuál será el ahorro uniforme mensual?

O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

10.000[pic 101][pic 102][pic 103][pic 104][pic 105][pic 106][pic 107][pic 108][pic 109][pic 110][pic 111][pic 112]

12.000

14.000

El valor presente de la serie estará en el punto 2 ya que el primer gradiente apareció al final del cuarto periodo.

k = $10.000 ; g = $2.000 ; n =12 ; i = 0,03

K = 10000 (1,03)12 – 1 + 2000 (1,03)12 – 1 - 12[pic 113][pic 114]

0,03(1,03)12 0,03 0,03(1,03)12 (1,03)12[pic 115][pic 116][pic 117][pic 118]

P= 10.000(9,954003) + 66.666,66(9,954003-8,416558)

---------------------------------------------------------------

P= 99.540 + 102.496,28 = 202.036,28

Este es el valor presente en el punto 2, luego en el punto cero es:[pic 119][pic 120]

P = F 1 P = 202.036,28 1 = 190.438,57[pic 121][pic 122]

(1 + i)n (1,03)2

si quiere hallarse una cuota uniforme, entonces:[pic 123]

1. se anualiza el gradiente: A = g 1 - ni [pic 124][pic 125]

i (1+i)n-1

A= 2000 1 – 12(0.03) [pic 126][pic 127]

0,03 (1,03)12-1

A = 66.666,66 (0,154454974)= 10.297

2. se suma la cantidad base mas la anualidad del gradiente:

A = 10.000 + 10.297 = 20.297

Ejemplo: Una máquina presenta los siguientes costos de mantenimiento mensual:

Mes

Cuota de mantenimiento

1

$97.870

2

109.900

3

120.300

4

131.050

5

139.870

Si se quiere presupuestar una cuota fija mensual para el próximo año, ¿cuánto se presupuestaría? Suponga una tasa de interés del 2% mensual.

k = $100.000

n=12

g = $10.000

i = 2% mensual[pic 128][pic 129]

A = g 1 - ni