Análisis de circuitos de CD

...

Puesto que la bobina aparece como un cortocircuito, la tensión en bornes de la rama inductiva es cero y no puede haber ninguna corriente que atraviese ni Ro ni R. Por tanto, toda la corriente de la fuente [5 pasa a través de la rama inductiva. Calcular la respuesta natural requiere determinar la tensión y la corriente en los· terminales de la resistencia después de abrir el conmutador, es decir, después de desconectar la fuente y de que la bobina comience a liberar energía. Si designamos mediante I = O el instante en que se abre el conmutador, el problema se reduce a determinar la ecuación de v(t) e i(t) para t 2: O. El circuito mostrado en la Figura 7.3 se reduce, para t 2: O, al que puede verse en la Figura 7.4.[pic 3]

Determinación de la ecuación de la corriente.

Para determinar i(I), utilizamos la ley de Kirchhoff de las tensiones para obtener una ecuación en la que aparezcan i, R y L. Sumando las tensiones alrededor del lazo cerrado, se obtiene L ddii + R¡' = O, (7.1) donde utilizamos el convenio de signos pasivo. La Ecuación 7. 1 es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, porque contiene términos en los que aparece la derivada ordinaria de la incógnita, es decir, di/di. La derivada de mayor orden que aparece en la ecuación es 1, de ahí que digamos que la ecuación es de primer orden.

Además, los coeficientes de la ecuación R y L son constantes, es decir, no son funciones ni de la variable dependiente i ni de la variable independiente l. Por tanto, podemos decir que la ecuación es una ecuación diferencial ordinaria con coeficientes constantes.

Para resolver la Ecuación 7.1, dividimos por L, pasamos el término donde aparece i aliado derecho y luego multiplicamos ambos lados por un tiempo diferencial dt. El resultado es

[pic 4]

A continuación, podemos observar que el lado izquierdo de la Ecuación 7.2 representa un incremento diferencial de la corriente i, es decir, di. Dividiendo ahora por i se obtiene

[pic 5]

Podemos hallar una expresión explícita de i en función de t integrando ambos lados de la Ecuación 7.3. Utilizando x e y como variables de integración, nos queda

[pic 6]

En donde i(t0) es la corriente correspondiente al instante t0 i(t) es la corriente correspondiente al instante t. Aquí, t0= 0, por lo que realizando la integración resulta

[pic 7]

Basándonos en la definición del logaritmo natural

[pic 8]

Escalón:[pic 9]

Se define como

[pic 10]

Note que esta función es discontinua en el origen; sin embargo no se necesita definirla en este punto ya que no es necesario en la teoría de la señal. La función de Escalón unitario es una señal muy útil para probar y definir otras señales. Por ejemplo, usando varias de estas señales movidas en el tiempo y multiplicadas por otras señales, se puede obtener alguna porción de la señal por la que fue multiplicada y eliminar el resto.

Función Impulso:La Función Delta de Dirac, conocida también como el impulso unitario o función delta es una función infinitamente angosta, infinitamente alta, cuya integral tiene un valor unitario (Ver ecuación 1 abajo). Tal vez la manera más simple de visualizar esto es usar un pulso rectangular que va de a con una altura de b Al momento de tomar su límite,podemos observar que su ancho tiende a ser cero y su altura tiende a infinito conforme su área total permanece constante con un valor de uno. La función del impulso usualmente se escribe como.

Función Rampa:Esta función está relacionada con la función descrita anteriormente. La función Escalón unitario va desde cero a uno instantáneamente, pero esta función es la que mejor se parece a una función en la vida real, donde se necesita un tiempo para que la señal vaya incrementándose desde cero a su valor ajustado, en este caso uno. La función rampa está definida así:

[pic 11]

[pic 12]

---------------------------------------------------------------

Función Impulso

La función impulso es más un concepto matemático que una función, que se define de la siguiente manera:

[pic 13]

[pic 14]

- La función es cero para cualquier valor de t, excepto cero.

- Cuando la t es cero el valor de la función es infinito

- Por definición el área de esta función es igual a uno

[pic 15]

La función impulso posee algunas propiedades que pueden resultar útiles.

[pic 16]

También es importante para posteriores desarrollos la propiedad de desplazamiento o corrimiento.

[pic 17]

[pic 18]

Físicamente existen efectos en la naturaleza a los que se puede asociar esta función como por ejemplo la fuerza aplicada en un lapso muy corto, como cuando un martillo golpea un clavo, o la presencia de un voltaje por un instante muy corto que en términos de esta función como:

[pic 19]

---------------------------------------------------------------