Análisis numérico resumen

...

El valor final de la concentración respecto al tiempo es de 3.3687.

La grafica correspondiente a esta variación es la siguiente:

[pic 4]

En la gráfica se muestra como disminuye la concentración a razón del aumento del tiempo.

Resultado final 3.68

3.2 Las siguientes ecuaciones definen las concentraciones de tres reactantes

= - 0.5 Ca[pic 5]

= 0.5 Ca[pic 6]

= Cb[pic 7]

Si las condiciones iniciales son Ca (0)=1 M, Cb (0)=0 M y Cc(0)=0 M, resuelva el sistema de ecuaciones en el intervalo de 0 a 10 minutos (use αgráfico.

Resolución:

Para resolver el sistema anterior por medio del método de Runge-Kutta de cuarto orden, se plantea las expresiones generales del método aplicado a cada ecuación:

Para la concentración de C, las ecuaciones son:

Cak= C ak + 1/6 (α1,a +2 α2,a + 2 α3,a + α4,a)

Cbk= C bk + 1/6 (α1,b +2 α2,b + 2 α3,b + α4,b)

Cck= C ck + 1/6 (α1,c +2 α2,c + 2 α3,c + α4,c)

Para los valores de α:

α1,a = h (-0.5 (Cak)

α1 ,b = h [0.5(Cak )- Cb)

α1, C = h (Cb)

α2,a = h [-0.5 (Cak + α1,a / 2)]

α2,b = h [0.5 (Cak + α1,a / 2) – (Cbk + α1,b / 2)]

α2,c = h [(Cbk + α1,c / 2)]

α3,a = h [-0.5 (Cak + α2,a / 2)]

α3,b = h [0.5 (Cak + α2,b / 2) – (Cbk + α2,b / 2)]

α3,c = h [(Cbk + α2,c / 2)]

α4,a = h [-0.5 (Cak + α3,a )]

α4,b = h [0.5 (Cak + α3,b) – (Cbk + α3,b )]

α4,c = h [(Cbk + α3,c)]

Estás ecuaciones se utilizaran para implementar la solución en Excel.

Solución en Excel:

Método de Runge-Kutta de cuarto orden para resolver un sistema de EDOs

h=

0.5

Ca(0)=

1

Cb(0)=

0

Cc(0)=

0

Grafica para este problema:

[pic 8]

La tabla generada en EXCEL es la siguiente:

3.3 El compuesto A se difunde a través de un tubo de 4 cm de largo, y reacciona conforme se difunde. En un extremo del tubo, hay una gran fuente de A en una concentración de 1M. En el otro extremo, hay un material absorbente que absorbe rápidamente cualquier A, teniéndose 0.1 M de concentración.

1M 0.1 M[pic 9][pic 10][pic 11]

[pic 12]

4 cm

La ecuación que describe la difusión con reacción es

[pic 13]

Si D = 1x10^-6 cm²/s y K= 4x10^-6 1/s, ¿cuál es la concentración de A en función de la longitud del tubo? (use h=0.2).Haga la gráfica de los resultados.

Nota: la difusión ocurre en el sentido de mayor concentración a menor concentración.

Solución:

Se sustituye los valores de D = 1x10^-6 cm²/s y K= 4x10^-6 1/s y nos queda la ecuación de la siguiente forma:

(1x10^-6 cm²/s)A’’ – (4x10^-6 1/s) A= 0

A’’= 4A

Para resolver la EDO anterior por el método de tiro al blanco, primero hay que transformar el problema de valores de frontera en un problema de valores iniciales, de modo que nos queda el siguiente sistema de EDOs de primer orden:

W=A Z=A’

W’=Z W (0)= 1

Z’= 4W Z (0)= 0

Para resolver este sistema de ecuaciones se utiliza el método de RK4, para el cual los valore de W y Z se obtendrán a través de las siguientes ecuaciones:

wk+1= wk + 1/6 (α1,w +2 α2,w + 2 α3,w + α4,w)

α1,w = h(zk)

α2,w = h( zk + α1,z / 2)

α3,w = h( zk + α2,z / 2)

α4,w = h( zk + α3,z / 2)

z k+1= zk + 1/6 (α1,z +2 α2,z + 2 α3,z + α4,z)

α1,z = h( 4*wk)

α2,z = h( 4*(wk + α1,w / 2))

α3,z = h( 4*(wk + α2,w / 2))

α4,z = h( 4*(wk + α3,w))

Resolución en EXCEL.

Para valores de 0≤x≤4, 1≥w≥0.1, z=0 y con una longitud de paso igual 0.2, tenemos como resultado los siguientes valores:

TABLA1. APLICANDO EL METODO DE TIRO AL BLANCO TOMANDO Z(0)=0

X

W

Z

alfa1w

alfa1z

alfa2w

alfa2z

alfa3w

alfa3z

alfa4w