Analisis de situaciones problematicas con funcion cuadratica

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SEGUNDO PROBLEMA

De todos los rectángulos de perímetro igual a 24 cm, ¿cuáles son las medidas del rectángulo con mayor área? ¿Cuál es el valor de más área?

En primer lugar, hay que interpretar el enunciado: hay infinitos rectángulos con perímetro igual a 24 cm, y cada uno de ellos tiene un área diferente. Por ejemplo:[pic 2]

8 cm 10,4 cm [pic 3]

4 cm 1,6 cm 5cm[pic 4]

Área= 16,64 cm² 7 cm

Área= 32 cm² Área= 35 cm

En segundo lugar se puede armar una función y hacer un gráfico. El siguiente rectángulo tiene perímetro igual a 24 cm, pero las medidas de sus lados son desconocidas.

Como el perímetro es 24 cm, entonces se tiene que: a[pic 5]

2a + 2b=24 a + b=12 b=12-a b[pic 6][pic 7]

Área=A=a. b

Así, si A es el área, resulta que (reemplazando b por 12-a):

A=a. b = a. (12 - a) = 12a² - a².

A= -a² + 12a es una función cuadrática y su grafica es una parábola. Se puede observar en ella que, hay dos valores que puede tomar a, para los que el área es cero, es decir que no es un rectángulo, porque si uno de los lados es cero, el otro es 12 cm, y viceversa. Estos valores de a (0 y 12), son las raíces de la parábola.

Luego podemos graficar, tomando algunos puntos convenientes de la función:

[pic 8][pic 9]

Al ubicar las raíces y trazar el eje de simetría de la parábola, se puede observar que la primer coordenada del vértice es el punto medio es el punto medio entre 0 y 12, es decir 6.

Entonces, si a=6, entonces A=-a² +12ª= -6²+12.6=-36+72=36

Por último, se debe interpretar el grafico, encontrar la solución y analizar que conocimientos nos deja este problema:

-como el coeficiente cuadrático es negativo, podemos observar que los brazos de la parábola apuntan hacia abajo.

- el vértice (6, 36) es su punto máximo. Es decir, si a=6, A=36 cm² y este es el mayor valor que puede tomar el área A.

-y por otra parte, b=12-a=12-6=6. Es decir que, de todos los rectángulos de perímetro igual a 24 cm, el cuadrado de lado 6cm es el que tiene mayor área: 36 cm².

CUESTIONARIO

a) El problema que esta situación plantea es el de hallar el rectángulo con mayor área posible, que cumpla con la condición de que su perímetro sea 24 cm.

b) los conocimientos mínimos que deben tener los alumnos para realizar el proceso de resolución son: concepto de variable, a partir de gráficos y tablas; área y perímetro de rectángulo.

c) Los alumnos adquieren mayor autonomía si la organización de la clase está orientada a debatir diferentes soluciones , formular conjeturas acerca de las mismas, construir argumentos que la justifiquen, deberá fomentarse además formas de expresión cada vez más claras, tratando de que las mismas se aproximen a las formas de expresión simbólicas propias de la matemática.

d) Los procedimientos incorrectos pueden ser:

-Interpretar mal el enunciado;

-No darse cuenta que existen muchos rectángulos que cumplen con la condición, 24 cm de perímetro;

-No considerar varios puntos para realizar mejor la parábola;

-Errores al realizar los gráficos;

-No interpretar los valores que da el grafico.

Los procesos correctos serían:

-Interpretar el enunciado;

-Despejar el área en relación a uno de los lados;

-Armar una función;

-Hacer el grafico;

-Interpretar los datos que este nos da, llegando a la conclusión que la mayor área está representada por el vértice.

e) Si no interpreta bien el enunciado, le aconsejaríamos que graficara varios rectángulos que cumplan con la condición de perímetro, y en lo posible, que calculara el área de los rectángulos que representó.

Si tiene problema para graficar y dar valores, le aconsejaríamos que revea el problema anterior o lo visto en otra clase.

Si no interpreta, una vez realizada la gráfica, los valores que esta nos da, le diríamos que observe y analice bien los distintos valores que puede tomar el área.

f) los chicos podrán validar sus conclusiones a partir del gráfico, o calculando las distintas medidas que pueden tomar los lados, y la relación a ellas, la que tendrá el área.

La intervención seria, principalmente, que observen cuales son los puntos significativos de la gráfica y que analicen que representan con respecto al problema.

g) las cuestiones fundamentales que se pueden identificar durante la puesta en el aula son:

-Si el coeficiente cuadrático es negativo, podemos observar que los brazos de la parábola apuntan hacia abajo;

-el vértice es el punto máximo de esta gráfica, y es el mayor valor que puede tomar el área;

-que hay dos valores que no podrán tomar los lados del rectángulo, 0cm y 12cm, que son las raíces de la función.

TERCER PROBLEMA

El siguiente esquema se ha construido a partir de agregar una pelotita a la base y a la altura de un triángulo rectángulo, y completando la hipotenusa. [pic 10]