CAPITULO I GENERALIDADES

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FUENTE: MOYA C. Rufino, SARAVIA G, Gregorio; PROBABILIDAD E INFERENCIA ESTADISTICA p. 247

Dicha gráfica se ha obtenido uniendo los puntos (x, p(x)) con el eje x por medio de una recta vertical continua.

c) Función de distribución de una variable aleatoria discreta:

[11](11)Denominado función de distribución, o función de distribución acumulada como se conoce algunas veces, debido a que se considera eventos de la forma [X ≤ x] y su probabilidad inducida P [X ≤ x]

- Sea X una variable aleatoria discreta con rango RX = {x1, x2,…} y función de probabilidad, P (Xi) = P [X = xi], sea x un número real cualquiera, la función de distribución de X se denota por “F(x)” y se define como:

[pic 6]

Desde el punto de vista de Sheaffer, Richard – McClave, James nos define matemáticamente de la forma siguiente:[12](12)

- La función de distribución F (b) de una variable X se define como:

F (b) = P (X ≤ b)

Si x es discreta,

[pic 7]

Siendo P(x) la función de distribución, se llama a veces función de distribución acumulada (fda).

La variable aleatoria X que representa el número de relevadores que cierran en forma correcta y que tiene una distribución de probabilidad.

Variable que toma un número finito o infinito de valores numerables. Variable aleatoria que puede tomar sólo un número limitado de valores sean x1, x2, x3, ... xn los distintos valores que puede tomar la variable aleatoria.

Y p(x1), p(x2),... p(n) su probabilidad.

Los pares de valores (xj, p(xj)) constituyen la distribución de probabilidades de la variable aleatoria.

p(x) se denomina función de probabilidad, y debe cumplir con las siguientes propiedades:

0 p(xj) 1 (p(x) es una probabilidad, y por lo tanto debe tomar valores entre (0 y 1).

å p(xj) = 1 (la suma de probabilidades repartidas entre todos los valores de la variable debe ser igual a 1).

De la misma manera que calculamos frecuencias acumuladas, podemos acumular probabilidades, obteniendo la función de distribución de probabilidades:

F(x) = å p(xj)

Esta función representa la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que un determinado valor:

F(xj) = P (X xj)

Dada una variable aleatoria diremos que es discreta si toma un número finito o infinito numerable de valores.

1.2.2.- Variables aleatorias continuas.

- Definición:

Según Sheaffer – McClave nos comenta:

“Se dice que una variable aleatoria X es continua si puede tomar el número infinito de valores posibles asociados con intervalos de números reales, (…) y hay una función f(x), llamada la función de densidad de probabilidad.”[13](13)

Tal que:

- f (x) ≥ 0 toda x

- ∫f (x)dx = 1

- P (a ≤ x ≤ b) = ∫f (x)dx

Nótese que para una variable aleatoria continúa X,

P (x = a) = ∫f (x)dx = 0

Para cualquier valor de específico de a, no debe preocupar el hecho de que se deba asignar probabilidad cero a cualquier valor específico, ya que hay un número infinito de valores posibles que debe asumir X.

Ejemplo: [14](14)Sea x = cantidad de mineral a extraerse en un día. Está es una variable aleatoria continua, ya que puede tomar cualquier valor en un tramo continuo: En un solo día se puede extraer entre 1000 y 2000 toneladas. Es posible obtener 152316 toneladas, ya que el carguio del mineral al volquete no se restringe a las cantidades discretas 1000, 1010, 1020…..2000.toneladas.

- Función de densidad de probabilidad:[15](15)

Sea X una variable aleatoria continúa con rango RX. La función de densidad de la probabilidad asociado a la variable aleatoria, es una función f(x) integrable que satisfaga las siguientes condiciones:

1. f(x) ≥ 0, para todo x Є R (ó f(x) > 0, x Є RX)

2. ∫ f(x)dx = 1 (ó ∫ f(x)dx = 1)

Está definición indica, la existencia de una función real f definida sobre . la condición (1) establece que la gráfica de la función de densidad está “arriba” del eje X. La condición (2) indica que el área acotada por la curva f(x), el eje x y las rectas verticales que pasan por los puntos extremos de es 1, Supongamos ahora que estamos interesados en calcular la probabilidad de que la variable aleatoria tomemos valores entre a y b, donde el intervalo [a, b] C RX. Es decir, queremos calcular la P [a ≤ X ≤ b]; puesto que todo área vale 1, bien podemos definir está probabilidad como el área acotada por la gráfica de f, las rectas x = a, x = b y el eje X. por lo tanto, la probabilidad del evento.

A = {x/ a ≤ X ≤ b}; Se define como sigue:

[pic 8]

Variable que toma un valor infinito de valores no numerables. Variable aleatoria que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado de valores.

En este caso, en lugar de trabajar con la probabilidad de valores particulares de la variable, resulta más apropiado calcular probabilidades asociadas a intervalos. Para distribuir propiedades se usa una función que mide "concentración" de probabilidades alrededor de un punto, que se denomina función de densidad de probabilidad (fdp) y se denota como f(x).

Una función de densidad de probabilidad debe cumplir con las siguientes propiedades:

- F(x) > 0 (la función es no negativa para cualquier valor de x, f(x) no es una probabilidad, y puede valer