CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA.

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si en un intervalo la segunda derivada es negativa, entonces tendremos que ahí la función es cóncava hacia abajo (f(x)² > 0 → n).

entonces para determinar las concavidades trazamos una recta que simbolice todas las x pertenecientes a los reales y sobre ella localizamos el valor de equis (punto de inflexión) que es -6.

[pic 2][pic 3][pic 4]

Trazamos una línea grande, así como se muestra arriba para que de esta manera se determine 2 intervalos y así poder realizar el análisis del signo de la segunda derivada.

Entonces elegimos valores de prueba k de cada intervalo.

(-∞, -6)

(-6, ∞)

k -8 +4

Ahora sustituimos en la segunda derivada: f(x)²= 6x

- 2.

f(-8)²= 6(-8) f(4)²= 6(4)

f(-8)²= -48 f(4)²= 24

En el primero el resultado dio negativo eso significa que la función es cóncava hacia abajo. Y en el segundo el resultado dio positivo así que es cóncava hacia arriba.

2.-Ejemplo:

Tenemos esta función.

f(x)=x³-6x²-15x+40

Ahora hay que sacar la primera y segunda derivada.:

f(x)1=3x²-12x-15

f(x)²=6x-12

después para encontrar el valor de x o puntos críticos, tenemos que igualar la primera derivada a cero.

3x²-12x-15=0

Podemos resolverla dividiendo entre 3, puesto que los números que observamos en la función son divisores de este y después factorizamos.

x²-4x-5=0

(x-5) (x+1)

Después cada factor lo igualamos a cero y despejamos x.

x-5=0 x+1=0

x=+5 x=-1

Ya teniendo los puntos críticos, sigue hacer la tabla para comprobar si es creciente o decreciente, también los máximos y mínimos; para esto tendremos nuestro valor de prueba llamado k.

(-∞, -1)

(-1,5)

(5, ∞)

k -3 0 7

Ahora aquí podremos sustituirlo en la factorización, acuérdense que lo que importa son los signos:

f(-3)= (x-5) (x+1) f(0)= (x-5) (x+1) f(7)= (x-5) (x+1)

f(-3) =(-3-5) (-3+1) f(0)= (0-5) (0+1) f(7)= (7-5) (7+1)

f(-3)= (-8) (-2) f(0)=(-5) (+1) f(7)= (+2) (+8)

f(-3)= +16 f(0)=-5 f(7)= +16

Así que ya tenemos los signos que nos dicen que es creciente y decreciente, ahora tenemos que graficar y tienen que quedar así:

[pic 5]

Así que graficando sabemos que el -1 es el máximo local y el +5 es el mínimo local. Y eso lo sabemos por las curvas.

Ahora sacaremos el punto de inflexión, tenemos que tomar la segunda derivada e igualarla a cero:

f(x)²=6x-12

6x-12=0

x=12/6

x=2

Así que de esta manera encontramos el punto de inflexión que es 2.

Para finalizar buscaremos las concavidades con ayuda del punto de inflexión.

[pic 6][pic 7][pic 8]

(-∞, 2)

(2, ∞)

k 0 4

Ahora sustituimos en la segunda derivada: f(x)²=6x-12

- 2.

f(0)²= 6(0)-12 f(4)²= 6(4)-12

f(0)²=-12 f(4)²= 12

En el primero el resultado dio negativo eso significa que la función es cóncava hacia abajo. Y en el segundo el resultado dio positivo así que es cóncava hacia arriba.