Combinaciones y permutaciones.

...

9.- El itinerario de un recorrido turístico por Europa incluye cuatro sitios de visita que deben seleccionarse entre diez ciudades. ¿En cuántas formas diferentes puede planearse este recorrido si:

¿Es importante el orden de las visitas?

nPr ═ n! (n-r)! n═ 10 y r ═ 4

10P4 ═ 10! (10-4)! ═ 10! 6! ═ 3628800720 ═ 5040 formas

¿No importa el orden de las visitas?

( nr ) ═ n! r! (n-r)! n═ 10 y r ═ 4

( 104 ) ═ 10! 4!10-4)! ═ 10! 4!6! ═ 210 formas

10.- El muy conocido BALOTO electrónico es un juego de azar que consiste en acertar en 6 números de 45 posibles para ganar el premio mayor. Calcule cuántos boletos de juego debe usted comprar para asegurar que tendrá el boleto ganador. La empresa del BALOTO asegura también que usted puede ganar un monto determinado si acierta 3, 4 o 5 veces, calcule también cuántos boletos debe comprar para asegurar 3, 4 y 5 aciertos. ¿Todavía cree en el BALOTO?

Número de elementos del espacio muestral

n(5) ═ 45

( 456 ) ═ 45! 6!(45-6)! ═ 45! 6!39! ═ 8,145060 boletos

Se necesitarían 8.145.060 boletos para asegurar el boleto ganador.

Para 3 aciertos:

( 453 ) ═ 45! 3!(45-3)! ═ 45! 3!42! ═ 14.190 boletos

Para 4 aciertos:

( 454 ) ═ 45! 4!(45-4)! ═ 45! 4!41! ═ 148.995 boletos

Para 5 aciertos:

( 455 ) ═ 45! 5!(45-5)! ═ 45! 5!40! ═ 1.221.759 boletos

11.- En una sala de espera se encuentran 5 personas: 3 hombres y 2 mujeres.

¿De cuántas maneras pueden sentarse en una fila?

5! ═ 5x4x3x2x1 ═ 120 maneras

Es decir: El primer lugar se puede ocupar de 5 formas distintas, el segundo de 4, el tercero de 3, el cuarto de 2 y el quinto de solo una. ¿De cuántas maneras pueden sentarse en fila si los hombres se sientan juntos y las mujeres también?

Supongamos que primero se acomodan las mujeres:

Habrían 2x1 formas de acomodarse.

Los hombres tendrían 3x2x1 formas de sentarse, es decir seis formas. Entonces combinando los resultados de mujeres y hombres tenemos:

MUJERES HOMBRES

(2X1) X (3X2X1)

2 X 6 ═ 12 maneras de sentarse

¿De cuántas maneras pueden sentarse en fila si justamente las mujeres se sientan juntas? Si tenemos encuenta las mujeres como un solo caso entonces el total de personas a acomodar está dado por: 4x3x2x1 ═ 24 formas

¿De cuántas maneras pueden sentarse en una mesa redonda?

Permutaciones circulares

5P5 ═ (5-1)! ═ 4! ═ 4x3x2x1 ═ 24 formas.

12.- En una urna se tienen 10 bolitas: 5 rojas, 3 blancas y 2 azules. Si se toman 3 con reemplazo, ¿de cuántas maneras se pueden sacar las tres bolitas de modo que todas sean del mismo color?

Para que todas sean del mismo color entonces puede ser que, las tres sean rojas, o las tres blancas o las tres azules.

1. B B B

2. R R R

3. A A A

Habría 3 maneras de sacar las 3 bolitas de modo que todas sean del mismo color.

13.- Una prueba de opción múltiple consta de 15 preguntas y cada una tiene tres

alternativas, de las cuales sólo debe marcar una. ¿En cuántas formas diferentes puede marcar un estudiante su respuesta a estas preguntas?

Corresponde a variaciones con repetición de 3 elementos tomados de 15 en 15, es decir; 315 ═ 3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3 ═ 14.348.907 formas.

14.- ¿Cuántas placas vehiculares se pueden elaborar en Colombia? Recuerde que éstas constan de tres letras del alfabeto y tres dígitos. Tome 26 letras del alfabeto.

Primer caso: se pueden repetir dígitos y letras:

Para la primera letra se tienen 26 posibilidades.

Para la segunda letra se tienen 26 posibilidades.

Para la tercera letra se tienen 26 posibilidades.

Para la primera cifra se tienen 10 opciones, para la segunda 10 y para la tercera también. Aquí suponemos que la placa puede empezar por cero.

Entonces aplicando el principio de la multiplicación tenemos:

1ra. Letra- 2da. Letra-3. letra

1er.número-2do.número-Última cifra

26 26 26 10 10 10

26x26x26x10x10x10 ═ 11232000 placas.

15.- ¿Cuantas formas hay de seleccionar 3 candidatos de un total de 8 recién egresados y con las mismas capacidades para ocupar vacantes en una empresa?

El objetivo es seleccionar tres candidatos de un total de 8 egresados de un total de ocho egresados. Por lo tanto, no importa el orden de selección. Por ejemplo, (Pedro, Carlos y Beto) ═ (Beto, Pedro y Carlos), es decir que el problema se resuelve por medio de combinatoria.

( nr ) ═ n! r!(n-r)!

( 83 ) ═ 8! 3!(8-3)! ═ 8! 3!5! ═ 8x7x6x53x2x1.5! ═ 56

Hay 56 formas de seleccionar los 3 candidatos de los 8 egresados.

16.- En un estudio realizado en California, se concluyo que al seguir 7 reglas sencillas de salud la vida de un hombre puede alargarse, en promedio 11 años. Las 7 reglas son no fumar, hacer ejercicio regularmente, tomar