Como son hace ejercicios de Calculo II

...

Por ejemplo:

1. Dada la función [pic 17], encontrar los siguientes valores:

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

2. Dada la función [pic 22], encontrar los siguientes valores:

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

3. Dada la función [pic 27], encontrar los siguientes valores:

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

4. Dada la función [pic 31], encontrar los siguientes valores:

[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

5. Dada la función [pic 35], encontrar los siguientes valores:

[pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

[pic 39]

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

El dominio (D) de una función es el conjunto de existencia de la misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida.

Entonces, el dominio de una función f es el conjunto de todos los objetos que pueden sustituirse en la variable independiente.

Conjunto imagen, también llamado recorrido o rango, está formado por los valores que alcanza la función. Entonces, la imagen de una función f es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente.

Ejemplos:

a) Dada la función [pic 40]

Por simple observación, podemos determinar que el dominio e imagen de la función, es el conjunto de los números reales (R).

b) Dada la función [pic 41]

El dominio es el conjunto de los números reales, pero la imagen serán solo los valores que sean “cero” o “mayor que cero”, esto es, porque cualquier número positivo o negativo elevado a una potencia par, el resultado siempre es positivo.

c) Dada la función [pic 42]

Como ahora la función es una división, tenemos que hacer algunas consideraciones antes de escribir cual es el dominio de la función, por ejemplo, que el valor de denominador siempre sea diferente de cero. Expresado matemáticamente: [pic 43].

Dado que son más los valores de “x” que no cumplen esa condición, mejor buscamos los valores de “x” que la cumplen, resolviendo la siguiente igualdad:

[pic 44]

Es decir, cuando “x” toma cualquiera de estos dos valores, la función no existe. Es por eso, que el dominio de la función, es el conjunto de los números reales excepto el “uno” y “menos uno”.

d) Dada la función [pic 45]

Condición que debe cumplir [pic 46]

Por lo tanto, buscamos valores de “x” que hagan que el denominador sea “cero”, para obtener el dominio de la función

[pic 47]

El dominio de la función es el conjunto de los números reales excepto el “dos” y “menos dos”.

e) Dada la función [pic 48]

Condición que debe cumplir [pic 49]

Resolvemos la desigualdad, para encontrar el dominio de la función

[pic 50]

El dominio de la función se expresa [pic 51]

f) Dada la función [pic 52]

El dominio es el conjunto de los números reales.

g) Dada la función [pic 53]

[pic 54]

h) Dada la función [pic 55]

[pic 56]

i) Dada la función [pic 57]

Condición que debe cumplir el subradical:

[pic 58]

j) Dada la función [pic 59]

Condición que debe cumplir el subradical:

[pic 60]

k) [pic 61] El dominio son todos los números reales excepto el 2.

l) [pic 62] El dominio son todos los números reales excepto el 1 y el -1.

m) [pic 63] El dominio son todos los números reales excepto el 2 y -3.

n) [pic 64] El dominio son todos los números reales excepto el 0 y 1.

o) [pic 65] El dominio son todos los números reales que sean mayores o igual que 11.

ÁLGEBRA DE FUNCIONES.

Si dos funciones “f” y “g” están definidas para todos los números reales, entonces es posible hacer operaciones numéricas reales como la suma, resta, multiplicación y división (cociente) con “f(x)” y “g(x)”.

Definición.

La suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones “f” y “g” son las funciones definidas por:

[pic 66]

Cada función está en la intersección de los dominios de “f” y “g”, excepto cuando los valores de “x” hacen que “[pic 67]”, se deben excluir del dominio de la función cociente.

Ejemplos.

1. Hallar la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones “f” y “g”.