Concepto de Determinante

...

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(Cuando n=2, s es un paralelogramo.) Denotemos por V(S) el volumen (o área, si n=2) de S. en tal caso,

V(S)=valor absoluto de det(A)

Donde A es una matriz con filas En general V(S)=0 si y solo si los vectores no constituyen un sistema de coordenadas de es decir, si y solo si los vectores son linealmente dependientes.[pic 36][pic 37][pic 38]

Ejemplo:

Si u=(1, 4, 2), v=(3, -2, 2), w=(-2, 5, 0); encuentre el volumen:

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El volumen será de 4 unidades cubicas ya que se toma el valor absoluto

Método de desarrollo de los determinantes

- Menores y cofactores.

Si A es una matriz cuadrada, entonces el menor de un elemento es el determinante de la matriz obtenida por medio de la eliminación de la fila i-ésima y la columna j-ésima. El cofactor esta dado por:[pic 41][pic 42][pic 43]

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Ejemplo: Buscar el cofactor de la matriz A=[pic 45][pic 46]

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Y por tanto

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Teorema El determinante de la matriz A=( es igual a la suma de los productos obtenidos multiplicando los elementos de cualquier fila (columna) por sus correspondientes cofactores:[pic 49]

ó [pic 50][pic 51]

Estas fórmulas para se conocen como desarrollos de Laplace del determinante de A por la i-ésima fila y la j-ésima columna, respectivamente. Junto con las operaciones elementales entre filas, ofrecen un método de simplificación de cálculo de que es el siguiente.[pic 52][pic 53]

- Reducción de orden de un determinante

Aquí es una matriz n-cuadrada no nula con n>1.[pic 54]

Paso 1 Elegir un elemento =1 o en su defecto, un ≠0[pic 55][pic 56]

Paso 2 Usando como pivote, efectuar las operaciones elementales entre filas (columnas) necesarias para colocar ceros en el resto de las posiciones de la columna (fila) que contiene .[pic 57][pic 58]

Paso 3 Desarrollar el determinante por la columna (fila) que contiene .[pic 59]

Nota La eliminación gaussiana o, equivalente mente, el uso repetido de este algoritmo acompañado de intercambios de filas puede servir para transformar una matriz a en otra triangular superior, cuyo determinante es el producto de las entradas diagonales. No obstante, no debe perderse de vista el número de intercambios de filas, pues cada uno de ellos varía el signo del determinante

Ejemplo Calculemos el determinante de A=[pic 60]

Utilizamos como pivote para situar ceros en el resto de las posiciones de la tercera columna, esto es, efectuamos las operaciones entre filas[pic 61][pic 62]

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Si ahora desarrollamos por la tercera columna, podemos despreciar todos los términos que contienen cero. Así

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Bibliografia

Lipschutz, S. (1997). Álgebra lineal. 1st ed. Madrid [etc]: McGraw-Hill, pp.290-305.

https://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Determinantes.pdf

Larson, R., & Falvo, D. (2009). Elementary Linear Algebra (6th ed.). Boston: HOUGHTON MIFFLIN HARCOURT PUBLISHING COMPANY B.

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Determinantes

Por:

Edison Álvarez Jerez

1066856

Docente:

Profesor Máximo Antonio Campusano Peguero

Fecha:

18/01/17