Conceptos Básicos de Álgebra

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a + b [pic 49] a + b

[pic 50]

Son identidades por que la igualdad permanece cualquiera sea el valor numérico que se dé a las letras.

a = b + c no es una identidad porque dado un valor a se limitan los valores posibles de b y c para que permanezca la igualdad.

ECUACIÓN

Una ECUACIÓN es una igualdad que contiene una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas. La ecuación no es una identidad porque solo se verifica para determinados valores de las incógnitas. Así:

[pic 51]

[pic 52]

Son ecuaciones porque solo se cumplen para determinados valores de x. Una ecuación puede ser numérica o literal según que las cantidades conocidas se expresen con números o con letras. La primera ecuación anterior es numérica, la segunda es literal, ya que [pic 53], [pic 54]y [pic 55]representan cantidades conocidas; en ambos casos la incógnita es [pic 56] .

- Grado de una ecuación [pic 57]

El grado de una ecuación lo determina en que la suma de los exponentes de las incógnitas sea la máxima. Así:

- [pic 58] Ecuación de segundo grado

- [pic 59] Ecuación de tercer grado

- [pic 60] Ecuación de cuarto grado con dos incógnitas

- Resolución de ecuaciones de primer grado

Resolver una ecuación es encontrar los valores de las incógnitas que satisface la igualdad. Estos valores reciben el nombre de raíces o soluciones de la ecuación.

Para saber las soluciones de una ecuación de este tipo es importante que tengas en cuenta las siguientes reglas:

[pic 61]

Los términos que están multiplicando pasan al otro lado del igual a dividir y los que están dividiendo pasan al otro lado a multiplicar.

[pic 62]

Los términos que están sumando pasan al otro lado del igual a restar y los que están restando pasan al otro lado a sumar.

En los siguientes ejemplos se puede reconocer que x es la incógnita o valor desconocido, el cual se debe despejar o dejar solo:

Ejemplo 1.

[pic 63]

- Observe que la solución de la ecuación es [pic 64]

Ejemplo 2.

[pic 65]

Observe que la solución de la ecuación es 3

- Problemas con ecuaciones de primer grado

A continuación se muestran algunos ejemplos de problemas que originan ecuaciones de primer grado

Ejemplo 1.

En un salón de fundamentos de matemáticas hay entre contaduría y administración 56 estudiantes. Si los de contaduría suman 12 menos que los de administración ¿Cuántos estudiantes hay de cada carrera?

Solución

X representará al número de estudiantes de contaduría[pic 66][pic 67]

(x – 12) representará al número de estudiantes de administración [pic 68]

Entonces sumamos las dos expresiones anteriores:

x + (x + 12) = 56 = número de estudiantes

x + x -12 = 56

2x = 56 + 12

2x = 68

[pic 69] = 34 número de estudiantes de contaduría[pic 70]

De esta manera habrá 22 estudiantes de administración

34 y 22 son las respuestas del problema porque satisfacen los requerimientos. En efecto su suma es 56 que el número total de estudiantes y su diferencia es 12, indicando que hay 12 de administración menos que los de contaduría.

Ejemplo 2.

Las edades de Pedro y Juan suman 68 años, si Pedro es 14 años mayor que Juan, ¿Cuáles son las edades respectivas?

Solución.

x = edad de Juan

(x + 14) = edad de Pedro

Por tanto

x + (x + 14) = 68

x + x + 14 = 68

2x = 54

[pic 71] = 27

Luego la edad de Juan es 27 años y la de Pedro 41 años

Ejemplo 3.

Un veterinario vende dos perros por $190.000; si el costo de uno fue de $20.000 menos que dos veces el costo del otro, ¿Cuál fue el precio de cada uno?

Solución

x = costo de un perro

(2x – 20.000) = costo del otro perro

Por lo tanto:

x + (2x – 20.000) = 190.000

x + 2x - 20.000 = 190.000

3x = 210.000

[pic 72] = 70.000

De esta manera los perros costarán $70.000 y $120.000

Ejercicios propuestos:

1. Reducir las siguientes expresiones algebraicas:

- [pic 73]

- [pic 74]

- [pic 75]

- [pic 76]

- [pic 77]

- [pic 78]

2. resolver las siguientes ecuaciones

- [pic